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| Lenimar
Nunes de Andrade
Um brinquedo em forma de régua que permite a construção de curvas de formatos variados costuma aparecer nas lojas com freqüência e despertar a curiosidade de todos. Geralmente, tem o formato de uma régua larga com janelas circulares dentadas de tamanhos variados, acompanhada por várias rodas menores, também dentadas. Cada roda dentada possui vários furos para entrada da ponta de um lápis ou caneta. Esse tipo de régua costuma ser chamado de espirógrafo e as versões mais simples são muito baratas, podendo, às vezes, ser encontradas em camelôs.
Sua utilização consiste em introduzir a ponta de um lápis em um dos furos da roda dentada e ir girando-a por dentro da janela circular da régua sem deslizar, até fechar a curva. É incrível a variedade de curvas que se pode obter. Algumas parecem rosáceos, outras assemelham-se a estrelados e outras lembram novelos de linha. Para cada tamanho e cada furo da janela ou da roda obtém-se uma curva diferente. Canetas de diversas cores podem ser usadas para embelezar os desenhos obtidos. É um estimulador da criatividade, útil para o desenvolvimento da coordenação motora. Além disso, permite exercitar de forma recreativa diversos temas relacionados com as funções trigonométricas. As curvas construídas com o espirógrafo são conhecidas pelo nome de hipotrocóides. Juntamente com outras curvas de construção assemelhadas, essa família de curvas vem sendo estudada desde o século XVII e despertou a atenção de cientistas brilhantes como Galileu, Newton e Bernoulli. O objetivo deste artigo é obter as equações das hipotrocóides, bem como mostrar alguns exemplos dessa curiosa família de curvas.
Agora, vamos obter as equações paramétricas das curvas obtidas através do espirógrafo. Para isso, consideremos um círculo de raio r tangente interiormente a outro círculo de raio R, com R > r, conforme mostrado na figura, r = CQ e R = OE, considerando um sistema cartesiano com origem no centro do círculo maior. Suponhamos que, inicialmente, o círculo menor
esteja com Seja P um ponto do círculo menor situado a uma distância a unidades do seu centro e seja t a medida em radianos do ângulo que OC forma com o eixo Ox. Escolhidos os valores das constantes r, R e a, vamos determinar as coordenadas de P em função de t, denotadas por x(t) e y(t). As coordenadas assim obtidas correspondem às equações paramétricas da trajetória que o ponto P descreve ao girarmos tangencialmente o círculo menor no interior do círculo maior. Se P = (x(t), y(t)), então temos x(t) = OA + AD = OA + BP e y(t) = DP = AB = AC - BC. Como OC = OQ - CQ, temos que OC = R - r e daí Se A medida do arco QE é igual a tR, que é a mesma medida do arco QS. Daí, a medida do ângulo Q Usando as conhecidas fórmulas
Teríamos obtido o mesmo resultado se os círculos estivessem desenhados em outras posições, em outros quadrantes. Uma vez obtidas as equações que definem a curva, fica fácil fazer um gráfico dela usando um programa de computação conveniente. Hoje em dia, é muito fácil encontrar programas (como o Maple ou o WinPlot) que constroem esse tipo de gráfico. Quando a = r, uma hipotrocóide passa a ser chamada de hipociclóide. Se o círculo de raio r girar tangencial e exteriormente ao círculo de raio R, então temos uma outra família de curvas chamadas epitrocóides cujas equações paramétricas diferem apenas por alguns sinais das equações das hipotrocóides:
Se a fração R/r estiver escrita
na forma irredutível e k for seu denominador, então
não é difícil mostrar que, quando o parâmetro
t variar de 0 até 2k
Exemplos Escolhamos agora os valores de algumas constantes r, R e a e vamos ver como ficam os respectivos gráficos. 1. r = 6,
R = 9 e
pois denominador (3/2) = 2.
2. r = 5, R = 8 e a = 3: pois denominador (3/5) = 5. 3. r = 3, R = 8 e a = 2:
4. r = 3,
5. r = 19,
R = 30, a = 8, 0 < t < 38
6. r = 20,
7. r = 10,
Referências bibliográficas [1] KREYSZIG, E. Differential geometry.
Dover, 1991. |
seu
centro C no eixo Ox e que esse círculo vá
girando tangencialmente ao círculo maior, sem deslizar. Isso significa
que, em qualquer instante, o arco QS mede o mesmo que o arco QE.
e 
.
for a medida em radianos do ângulo B
P
e CP = a, temos BC = a cos
) radianos. Como a medida do ângulo raso O
e daí 
e sen(-
)
= - sen
e
ou seja,
.
,
a curva se fechará. (Está implícita a hipótese
de que R/r é racional.)
. Então, 
com 0 < t < 4
, 
, com 0 < t < 10
,
, com 0< t <6
, a = 2, 0 < t < 10
0 < t < 80
0 < t < 40