Eduardo Wagner
FGV/ CE da RPM

Outro dia, surgiu em uma conversa de professores uma intrigante pergunta:

Se as áreas das faces de um tetraedro são as mesmas de outro tetraedro, então eles têm mesmo volume?

Nenhum dos presentes sabia responder de imediato, mas eu, intuitivamente, achei que a resposta deveria ser sim. Por outro lado, pensando mais tarde, nunca tinha ouvido falar em uma fórmula que desse o volume de um tetraedro em função das áreas das quatro faces. Será que tal fórmula existia? Tinha ouvido falar que Euler encontrou uma fórmula para o volume de um tetraedro em função das arestas, desde que se saiba quais são os pares de arestas opostas. Mas isso é diferente de conhecer apenas as áreas das faces e, algum tempo depois, a intuição apontava na direção oposta. A resposta devia ser não. O que fazer?

É oportuno lembrar que para transformar uma conjectura em uma afirmação, ou seja, num teorema, necessitamos de uma demonstração, mas, por outro lado, para nos convencermos que ela é falsa, basta achar um contra-exemplo. E esse foi o caminho que segui.

De fato, a resposta para a pergunta é um gritante não! Mais ainda, se as áreas das faces de um tetraedro são dadas, podemos ter uma infinidade de valores para o volume.

Mostrarei um par de tetraedros com faces de mesma área e volumes diferentes. O contra-exemplo será selecionado em uma classe muito especial de tetraedros: os tetraedros inscritos em blocos retangulares de forma que os vértices do tetraedro são também vértices do bloco.

A figura a seguir mostra um desses tetraedros. Observe o tetraedro ABCD inscrito em um bloco retangular cujas arestas medem a, b e c. Esses tetraedros possuem uma propriedade muito interessante: suas faces são todas congruentes. De fato, os lados de cada face são diagonais das faces do bloco retangular.

Para obter o volume do tetraedro ABCD, calculamos o volume do bloco e subtraímos os volumes de quatro tetraedros iguais a OABC.

Portanto, o volume do tetraedro ABCD é 1/3 do volume do bloco.

Para calcular a área de uma das faces, vamos utilizar o seguinte teorema: No tetraedro OABC, tri-retângulo em O, se S, S₁, S₂ e S₃ são áreas dos triângulos ABC, OAB, OBC e OCA, respectivamente, vale a relação que quer dizer que o quadrado da área da face ABC é igual à soma dos quadrados das áreas das outras faces. Uma demonstração para essa interessante relação (uma supergeneralização do Teorema de Pitágoras) pode ser encontrada no livro Temas e problemas elementares, publicado pela SBM. Voltando então ao nosso problema, temos que a área S de cada face é tal que

Vamos agora mostrar dois tetraedros dessa família com todas as faces de mesma área e volumes diferentes.

Tetraedro 1: a = b = c = 2; área de cada face = ; volume = .

Tetraedro 2: ; área de cada face =; volume = .

A conjectura é falsa!

Encontramos tetraedros com faces de mesma área e volumes diferentes!

Para complementar, o leitor vai verificar que podemos construir uma infinidade de tetraedros dessa família com faces de área dada. De fato, sejam S₁, S₂ e S₃ as áreas dos triângulos OAB, OBC e OCA como na figura. Se a área S de cada face é dada, escolhemos números positivos, S₁, S₂ e S₃, tais que , e é evidente que existem infinitas possibilidades para a escolha desses números. Em seguida resolvemos o sistema:

,

que sempre tem solução. O leitor pode verificar esse fato simplesmente fazendo as contas.

Uma vez determinados os valores de a, b e c, o volume do tetraedro ABCD é que, expresso em função das áreas das três faces, é