Truques de adivinhações aritméticas têm sido apresentados a pessoas e alunos de vários níveis de escolaridade, inclusive universitários, e também a professores do ensino básico em programas de capacitação na UFSCar. Nessas apresentações, os truques sempre causam surpresa e fazem muito sucesso. Alguns desses truques foram trabalhados em uma oficina apresentada aos professores premiados da 1^a OBMEP, no IMPA, realizada em janeiro de 2006. Vamos apresentar aqui um deles, o truque da adivinhação egípcia. A exibição desse truque a uma classe de alunos, com a subseqüente exploração das propriedades aritméticas subjacentes a ele, provê ao professor um meio prazeroso de ensinar a aritmética da representação de inteiros positivos no sistema binário, isto é, na base 2.

Advinhação egípcia

Neste truque o professor (ou apresentador) pede a um aluno (ou espectador) que pense em um número de 10 a 100. O professor segue então os seguintes passos:

1. Pergunta ao aluno se o número é par ou ímpar. Ouvida a resposta, se for par, pede ao aluno que divida o número por 2. Se for ímpar, pede a ele que subtraia 1 e que então divida o resultado por dois.

2. Pergunta se o resultado obtido é par ou ímpar e, ouvida a resposta, pede ao aluno para repetir o procedimento descrito no item 1.

3. O procedimento continua com cada novo resultado até o resultado (quociente de uma divisão por 2) tornar-se igual a 1, quando então os cálculos do aluno terminarão.

Quando o professor é informado de que o resultado é igual a 1, ele revela imediatamente ao aluno o número pensado por ele.

Como funciona o truque da advinhação egípcia

Suponhamos que o número pensado pelo aluno seja 52. Nas sucessivas etapas, o aluno efetuará as contas da coluna abaixo à esquerda, enquanto simultaneamente o professor irá fazendo, secretamente, as anotações da coluna à direita.

Para cada número ímpar informado pelo aluno, o professor anota "". Nos sucessivos estágios da brincadeira, o professor marca as potências de 2, iniciando em 2⁰ = 1. Em seguida, o professor soma as potências de 2 correspondentes às marcas ,

4 + 16 + 32 = 52,

e resgata o número que foi pensado pelo aluno!

Concebi esse truque observando o método das divisões sucessivas por 2, usado para representar um inteiro positivo no sistema binário, isto é, como soma de potências (distintas) de 2, a partir de sua representação no sistema decimal. Nesse método, tomando como exemplo o número 52, fazemos a seguinte "escada" de divisões sucessivas por 2, até atingirmos quociente igual a 1, quando o algoritmo termina.

Lendo da direita para a esquerda os 0's e 1's, que são o último quociente e os restos das divisões, obtemos a representação do número 52 (aqui representado no sistema decimal) no sistema de numeração de base 2:

52 = (110100)₂ = 1 × 2⁵ + 1 × 2⁴ + 0 × 2³ + 1 × 2² + 0 × 2¹ + 0 × 2⁰

                                           = 2² + 2⁴ + 2⁵.

Na seqüência das divisões, um resto será 0 quando o dividendo for par, e 1 quando o dividendo for ímpar, daí a importância de tomar nota apenas das potências de 2 correspondentes aos restos ímpares.

O título adivinhação egípcia é inspirado nos algoritmos de multiplicação dos antigos egípcios, baseados na decomposição de inteiros positivos como somas de potências distintas de 2 [1].

Referências bibliográficas

[1] EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. 3^a ed. Campinas. Editora da Unicamp, 2002.

Trata-se de uma brincadeira que pode ser realizada até por alunos de 5^a série.

O aluno coloca um baralho sobre a mesa, cartas viradas para baixo, constituindo o monte m₁, e diz que, com a ajuda dos visitantes, fará aparecer os 4 ases do baralho.

Pede a um dos visitantes para escolher um número inteiro, qualquer, entre 10 e 19 (10 e 19, inclusive). Seja n esse número.

O aluno tira, uma a uma, n cartas do monte m₁ e as empilha num monte m₂. Em seguida, coloca de volta no monte m₁ tantas cartas quantas indicar a soma dos algarismos de n. Mostra ao visitante a carta de cima do monte m₂ e... surpresa... é um ás.

Deixa o ás de lado, coloca o monte m₂ de volta sobre m₁ e repete o processo mais duas vezes com o visitante dando outros números. Cada vez aparecerá um ás!

Para tirar o último ás, o aluno pode invocar o espírito dos números, que lhe dará uma pista: "vire a primeira carta do monte m₁". O aluno contará tantas cartas quantas indicar a pista, formando o monte m₂, e a carta de cima desse monte será o ás que estava faltando.

Como e por que funciona?

O aluno, antes do início da feira, arruma o baralho da seguinte maneira: Na oitava posição, de cima para baixo, coloca um dos "oitos" do baralho e, em seguida, coloca os quatro ases. Só isso.

Se, de um número entre 10 e 19, subtrairmos a soma de seus algarismos, o resultado será sempre 9.

É por isso que a mágica funciona: o monte m₂ sempre terá as primeiras 9 cartas de m₁, sendo a de cima um ás.

 

Você sabia?

Teorema de Pitágoras ... Nenhuma outra proposição teve, em toda a Matemática, uma história tão preeminente. ... Mas tudo em Geometria e, subseqüentemente, em Física, derivou-se dessa proposição por generalizações sucessivas. A mais recente dessas generalizações é a teoria da relatividade generalizada. Bertrand Russel   ABC da Relatividade, 5a ed., Zahar, 1981.   O Teorema de Pitágoras é, de fato, uma proposição de importância crucial na Matemática e merece todo o destaque que a ele se possa dar. Elon Lages Lima   Meu professor de Matemática e outras histórias, SBM.   Geometria tem dois grandes tesouros: um é o Teorema de Pitágoras; o outro, a divisão de um segmento em média e extrema razão. O primeiro nós podemos comparar a uma medida de ouro; o segundo podemos chamar uma jóia preciosa. Johannes Kepler (1571-1630)    ... a verificação mais simples e mais bela era, sem dúvida, a fornecida pelo célebre teorema ... Que lei matemática tão simples a regular a estrutura duma figura geométrica? Por isso, este teorema foi sempre considerado como a mais brilhante aquisição da escola pitagórica. Bento de Jesus Caraça   Conceitos Fundamentais da Matemática, 1958.   Ele (o Teorema de Pitágoras) é a pedra fundamental de muitos outros trabalhos da própria Matemática e de muitas aplicações da Matemática; assim, deveríamos chegar a ele o mais depresssa possível. Ivan Niven   A Geometria pode sobreviver no currículo do curso secundário?.   Aprendendo e ensinando Geometria, M. M. Lindquist   ... é a pedra angular da Geometria métrica euclidiana e uma das bases de toda a métrica. ... A fórmula do quadrado da distância entre 2 pontos de um plano sugeriu as fórmulas correspondentes da Geometria Diferencial para o quadrado do elemento linear que une pontos próximos de um espaço qualquer, plano ou curvo, ... O germe de toda esta grande evolução foi o Teorema de Pitágoras. E. T. Bell   História de las Matematicas.   O país que abdicar de reinventar a roda e redescobrir o Teorema de Pitágoras estará cometendo um erro profundo. Vai se colocar no nível de colônia, vai virar uma nação de apertadores de botões das máquinas vendidas pelos grandes centros do conhecimento. Isso é auto-condenação. Alberto Santoro   Físico da equipe internacional que descobriu o top quark, em entrevista à revista Veja.     Enviado por Antonio Vladimir Martins MTM -UFSC