Rogério César dos Santos
Sandra A. de Oliveira Baccarin

Você deve ter observado que várias marcas de sabão em pó tiveram uma mudança na embalagem de 1kg: passaram de um paralelepípedo "mais estreito e alto" para um "mais largo e baixo".

As embalagens têm medidas aproximadamente iguais a:

embalagem antiga: 4,8 cm x 16,8 cm para a base e 24 cm para a altura

embalagem nova: 19 cm x 7 cm para a base e 14,5 cm para a altura

Isso despertou minha curiosidade: teria sido o motivo puramente estético ou houve intenção das empresas de procurar menor custo para as embalagens dos produtos, uma vez que o custo incide diretamente sobre o lucro final?

Primeiro, fiz o cálculo do volume dos paralelepípedos das duas embalagens para verificar se ficara mantido:

4,8 x 16,8 x 24 cm³ = 1935,36 cm³

19 x 7 x 14,5 cm³ = 1928,5 cm³

Logo, a menos de aproximações nas medidas, podemos supor o volume mantido e suficiente para embalar 1kg do produto.

Agora, os cálculos das áreas superficiais dos paralelepípedos, em cm²:

 

Embalagem antiga	Embalagem nova
24 x 16,8 x 2 = 806,40 16,8 x 4,8 x 2 = 161,28 4,8 x 24 x 2 = 230,40 Total = 1198,08 cm2	19 x 14,5 x 2 = 551 19 x 7 x 2 = 266 7 x 14,5 x 2 = 203 Total = 1020 cm2

Bingo! A caixa atual utiliza menos material para ser confeccionada que a caixa antiga.

Considerando que a população do Brasil seja aproximadamente 180 milhões de habitantes e supondo que um terço dessa população use uma caixa de sabão por mês, isso resultaria numa economia de:

60 000 000 Total = 1198,08 cm² (1 198,08 1 020) cm² = 10 684 800 000 cm² =
1 068 480 m² de papelão por mês.

Você já parou para pensar nisso?

Será que haveria uma possibilidade de conseguir uma área ainda menor que a caixa atual, mantendo o mesmo volume? Esse é um problema que pode ser resolvido usando cálculo diferencial para determinar o ponto de mínimo da função que fornece a área superficial da embalagem com volume fixado. O que acontece é que a embalagem que forneceria o valor mínimo (um cubo) não é apropriada para ser manuseada; logo, as empresas têm que fazer uma adaptação entre o mínimo matemático e o prático.

Para uma atividade em sala de aula, podemos, por tentativa, buscar a área superficial mínima, fixando em 7 cm a medida lateral da base da caixa, que julgamos adequada ao manuseio.

Considerando o volume da caixa igual a 1 928,5 cm³, denotando por c a outra dimensão da base e por h a altura da caixa, temos:

A área superficial do paralelepípedo será dada por , e substituindo o valor de h na expressão obtemos:

Com essas expressões, podemos pedir aos alunos que utilizem o programa Excel para construir a tabela abaixo.

Pelos cálculos, podemos perceber que a área mínima será obtida para valores de c e h por volta de 16,5 cm. Para manter o volume próximo de 1928,5, escolhemos c = h = 16,6, obtendo V = 1 928,92 e A = 1 015,92.

Com essas medidas, em relação à caixa atual, haveria uma economia mensal de papel igual a

60 000 000(1 020 1 015,92) = 24 480 m².