Num e-mail, o bacharelando e professor Rafael W. Cinoto, São Paulo, SP, conta que, numa noite de insônia, resolveu aplicar a regra geral do artigo Divisibilidade por 3, 7, ... ( RPM 58, p. 13-17) ao número 11. Comparando a nova regra com a que ele já conhecia, aquela da soma dos algarismos de ordem ímpar menos a soma dos algarismos de ordem par, considerou que a sugerida pelo artigo pode ser mais simples para os alunos e é mais fácil do que a regra para o 7. Com efeito, como 11 1 é divisível por 10, basta, a cada passo, separar do número o dígito das unidades e subtrair do número assim formado o "dígito" das unidades. E dá o exemplo:

59323 5932 3 = 5929;   5929 592 9 = 583;   583 58 3 = 55,

que é divisível por 11, logo, 59323 também o é. E ele conclui pela pergunta: Por que será que eu nunca tinha visto esse critério em vez do outro?

RPM

Há uma diferença entre os dois critérios. A diferença entre as somas dos "algarismos" de ordem ímpar e par, quando dividida por 11, dá o mesmo resto que o número de partida dividido por 11. Na regra descrita no artigo, a coincidência dos restos é certa no caso do resto 0, mas, se num passo o resto da divisão por 11 é r, 0 < r < 11, no passo seguinte, o resto será 11 r. O leitor interessado pode verificar que, na regra aplicada à divisibilidade por outros números, a variação do resto a cada passo pode ser outra. Talvez seja essa a razão pela qual esse critério tenha perdido em "popularidade".

Uma solução diferente, uma questão e uma correção

Nossos leitores estão atentos. O colega Carl H. Schinke, de Nova Friburgo, RJ, envia à Revista algumas observações interessantes sobre a RPM 55.

Na solução do Problema 2 do Painel II (Geometria Analítica, RPM 55, p. 38), o autor afirma que a solução por Geometria Sintética pode apresentar dificuldade e apresenta uma bonita solução por Geometria Analítica. O missivista reconhece o mérito da solução por Geometria Analítica, mas comenta que a solução por Geometria Sintética também pode ser simples, quando se observa que os triângulos retângulos de hipotenusas B e b são ambos semelhantes ao triângulo de hipotenusa h. Isso nos leva à solução. Com efeito, chamando de c o cateto menor e de d o cateto maior do triângulo com hipotenusa h, tem-se, de um lado, e, de outro, donde se tira:

Por outro lado, o leitor consulta a equipe da Revista sobre a legitimidade, ou não, de constar em prova de Matemática uma questão de Estatística, como a questão 46 (RPM 55, p. 51), do concurso PEB II do Estado de São Paulo, de 2003.

Em   sua   carta,   o    leitor  apresenta  também  uma  correção:   faltou  um   7   na  expressão 6 x 11 + 8 + 3 = 77, e não 7, como constou na Revista (RPM 55, p. 13, 8^a linha de baixo para cima).

RPM

A proposta de questões de Estatística num concurso torna-se legítima quando o assunto é incluído no programa do concurso. Por seu grande valor, a Estatística é, muitas vezes, considerada em programas específicos. No nível básico, entretanto, a Estatística, bem como a Probabilidade, é estudada dentro da Matemática, berço onde nasceu.

Funções: a beleza destruída

Esse é o título de uma descrição que nos faz o colega André Luís F. dos Santos, de Carapicuíba, SP, de sua experiência num curso pré-vestibular destinado a alunos de poucos recursos financeiros. O assunto da aula, dentro do estudo de Ecologia, era Dinâmica populacional. Ele se surpreendeu com a reação dos alunos no trabalho com gráficos. Eram gráficos que descreviam o número de habitantes num ecossistema em função do tempo. Um deles apresentava um fenômeno de explosão populacional e outro de equilíbrio. Conta o colega que, após a discussão sob o ponto de vista da Biologia, os alunos se entusiasmaram com a relação entre Biologia e Matemática e que despencavam perguntas sobre o tipo de função representada naqueles gráficos. Se eram exponenciais, logarítmicas, quadráticas, ... O professor conta que nunca havia visto tanto interesse pela Matemática em toda a sua vida escolar e manda um recado aos professores, pedindo que não acabem com as "pobres" funções!

Vale para a Aritmética, será que vale para a Álgebra?

Escreve-nos o leitor Nelson O. F. Correa, por e-mail, reclamando de algumas regras e algumas afirmações da RPM. Pelas mensagens, percebe-se que o leitor se preocupa com o rigor na linguagem utilizada no ensino e na própria Revista. Por exemplo, ele lembra que a regra referente às operações de dividir e multiplicar diz que estas devem ser feitas na ordem em que vierem. E apresenta o que seria  uma  incoerência  entre  Aritmética   e  Álgebra,  no  exemplo: 6 x 2/2 x 3 = 18, mas o que daria 2, para x = 3.

RPM

O problema aqui está no uso do sinal / , no lugar do traço horizontal, para indicar a operação de divisão ou na notação de fração. Com efeito, o sinal / exige o uso de parêntesis em situações em que o traço horizontal não exige. No exemplo  citado   acima, temos que:  6 x 2 / 2 x 3 = 18  e 6 x 2 / 2 x x = 6x, pois, em ambos os casos, a operação é 6 x 2, que dá 12, dividido por 2, que dá  6  e, este sim, é que deve ser multiplicado por 3 ou x. Mas  6 x 2/(2 x 3) = 2, coerente com 6 x 2 / (2 x x) = 6/x. O uso de parêntesis se faz necessário justamente para que fique claro qual seja o divisor em cada caso. O que não é necessário com o traço horizontal, pois seria ou