Vincenzo Bongiovanni
PUC, SP

Este artigo trata de uma noção matemática que tem um lugar privilegiado no saber matemático: as cônicas. Os diferentes pontos de vista adotados sobre as cônicas ao longo do desenvolvimento da Geometria têm servido para testar novos métodos em Matemática. É um tópico rico na sua constituição, no seu desenvolvimento e principalmente nos seus problemas.

O ensino das cônicas costuma acontecer na terceira série do ensino médio no conteúdo de Geometria Analítica. Em geral, as cônicas são apresentadas como três curvas distintas: a elipse como o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos é constante; a hipérbole como o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja diferença das distâncias (em módulo) a dois pontos fixos é constante e a parábola como o lugar geométrico dos pontos de um plano eqüidistantes de uma reta e de um ponto fora dela. A partir dessas definições, são estabelecidas as suas equações. Em geral, a extensa programação de Matemática do ensino médio não permite a construção das cônicas e nem a sua utilização na resolução de problemas.

O advento dos softwares de Geometria Dinâmica, softwares de construções geométricas que permitem transformar figuras mantendo suas propriedades, e principalmente daqueles que têm a ferramenta "cônica" implementada, trouxe profundas modificações na exploração do estudo das cônicas. Em particular, o software Cabri-géométre, graças à ferramenta "macroconstruções", permite criar novos objetos que estarão disponíveis na barra de ferramenta para serem utilizados na criação de outros objetos geométricos. As macroconstruções podem enriquecer o ambiente de trabalho, permitindo a criação de situações novas para o ensino de Geometria.

O objetivo deste artigo é apresentar situações onde as cônicas aparecem como ferramentas na resolução de problemas geométricos. Escolhemos o software de Geometria Dinâmica "Cabri-géométre" por ter as ferramentas "cônicas" e "macroconstrução" no seu menu.

Procuramos na História da Matemática situações envolvendo as cônicas e que levassem em conta a Geometria Dinâmica. Pappus, que viveu no final do século III, na introdução do livro VII da sua obra Coleção Matemática, cita algumas obras perdidas de Apolônio. Entre essas, está a obra Os contatos que trata de problemas de tangência. Várias tentativas de reconstituição dessa obra foram feitas ao longo dos séculos. Paul Ver Eecke, na introdução do livro Coleção Matemática de Pappus, comenta tais reconstituições. A primeira citada é creditada ao matemático Viète em 1600. A segunda é de Gethaldi, publicada em 1607. Uma terceira é devida a J. Lawson em 1764. Uma quarta foi feita em 1795 por Guillaume Camerer e as duas últimas reconstituições foram apresentadas por C. G. Haumann em 1817 e por W. L. Christmann em 1818.

Segundo Pappus, na obra Os contatos havia o seguinte problema: sendo dados três elementos entre pontos, retas e circunferências, construir uma circunferência que passa pelo(s) ponto(s) dado(s) e tangente a cada linha dada. Esse problema, chamado problema de Apolônio, se decompõe em 10 construções:

1) Traçar uma circunferência passando por três pontos dados.

2) Traçar uma circunferência tangente a três retas dadas.

3) Traçar uma circunferência passando por dois pontos dados e tangente a uma reta dada.

4) Traçar uma circunferência tangente a duas retas dadas e passando por um ponto dado.

5) Traçar uma circunferência passando por dois pontos dados e tangente a uma circunferência dada.

6) Traçar uma circunferência tangente a duas circunferências dadas e passando por um ponto dado.

7) Traçar uma circunferência tangente a duas retas dadas e a uma circunferência dada.

8) Traçar uma circunferência tangente a duas circunferências dadas e a uma reta dada.

9) Traçar uma circunferência tangente a uma circunferência dada, a uma reta dada e passando por um ponto dado.

10) Traçar uma circunferência tangente a três circunferências dadas.

A resolução desses problemas clássicos de desenho geométrico requer apenas o uso de uma régua não graduada e de um compasso. Os dois primeiros, que são os mais simples, encontram-se resolvidos na obra de Euclides. Apresentaremos as soluções dos problemas 3, 4 e 5 utilizando, nas suas resoluções, as cônicas, além de uma régua não graduada e de um compasso.

3. São dados dois pontos A e B e uma reta r. Utilizando as cônicas, construir uma circunferência tangente à reta dada e passando pelos pontos dados.

Os pontos X₁ e X₂ são centros das circunferências das soluções do problema. Eles são obtidos como intersecções da parábola de foco A e diretriz r e da parábola de foco B e diretriz r.

4. São dadas duas retas r e s e um ponto A. Utilizando as cônicas, construir uma circunferência tangente às duas retas dadas e passando pelo ponto dado.

Os pontos X₁ e X₂ são centros das circunferências das soluções do problema. Tais pontos são as intersecções da parábola de foco A e diretriz s e da parábola de foco A e diretriz r.

5. São dados dois pontos P e Q e uma circunferência de centro A. Utilizando as cônicas, construir uma circunferência tangente à circunferência dada e passando pelos pontos dados.

Os pontos X₁ e X₂ são centros das circunferências das soluções do problema. Os pontos X₁ e X₂ são intersecções da hipérbole de focos A e P e eixo transverso r (ver Observação 2 a seguir) e da hipérbole de focos A e Q e eixo transverso r.

Observação 1: Se os pontos P e Q forem internos à circunferência, os pontos X₁ e X₂ serão intersecções de duas elipses.

Observação 2: O que é o eixo transverso de uma hipérbole?

Apolônio define o diâmetro de uma hipérbole como sendo uma reta que passa pelos pontos médios de duas cordas paralelas. Pode-se provar que um diâmetro da hipérbole passa pelos pontos médios de todas as cordas paralelas que o definem. Sendo R e S os pontos de intersecção de um diâmetro com a hipérbole, pode-se provar que o ponto médio de RS é o centro da hipérbole.

O eixo de uma hipérbole é um diâmetro que forma ângulos retos com as cordas paralelas que o definem. Sendo R e S as intersecções do eixo da hipérbole com a hipérbole, o seguimento RS recebe o nome de eixo transverso.

Concluindo, o tema cônicas oferece a possibilidade de rever e relacionar vários resultados e construções da geometria elementar e a sua integração com um software de geometria dinâmica pode ampliar consideravelmente o leque de situações apresentadas aos alunos.

Referências bibliográficas

[1] PAPPUS, d'Alexandrie. La Collection Mathématique. Traduction: Paul Ver Eecke. Paris: Librairie Albert Blanchard, 1982.
[2] BOYER, C. C. História da Matemática. Editora Universidade de São Paulo, 1974.