Observamos, atualmente, que o ensino relativo à resolução de equações do 2.º grau tem se restringido praticamente à apresentação da fórmula e, algumas vezes, das relações entre os coeficientes e raízes.

Poucos livros de 2.º grau trazem uma explicação satisfatória para aqueles que querem entender melhor o assunto.

Geralmente, a curiosidade surge em relação à maneira de como apareceu a fórmula e não quanto ao seu uso.

Achamos conveniente que se mostre e justifique, durante sua reapresentação para os alunos do 2.º grau, o surgimento da fórmula de resolução.

Tratamos aqui de alguns pontos que irão ajudar os professores em sua tarefa, particularmente àqueles que desejam rever em classe o assunto durante o estudo das funções do 2.º grau, já que estas recaem na resolução de equações do 2.º grau, quando formos determinar suas raízes.

No período Babilônio antigo, os babilônios já manipulavam operações algébricas e resolviam equações do 2º grau completas, pois algumas fórmulas de fatoração já eram bem conhecidas. Além disso, transportavam termos em uma equação de modo semelhante ao que fazemos hoje.

Sabemos também que os babilônios efetuavam operações como somar comprimentos com áreas, não tendo origens, portanto, em problemas práticos.

Alguns séculos mais tarde, os gregos desenvolveram uma visão geométrica dentro da Álgebra.

Para mostrar a identidade  por exemplo, representavam como área de um quadrado de lados (a + b).

No século IX, o matemático árabe al-Khowarizmi resolveu alguns tipos de equações quadráticas segundo certas regras algébricas, justificando os resultados geometricamente, ou seja, representando os termos da equação por quadrados e retângulos (semelhante aos gregos) e completando o quadrado maior.

Para deixar claro, vejamos como se justifica geometricamente; por exemplo, a solução positiva de , que é 1, encontrada algebricamente.

Tomemos um quadrado de lado x para representar o termo x², e quatro retângulos de comprimento x e largura 2, para representarem o termo 8 x, conforme figura 2.

 
Fig. 2

  Dessa forma, obtemos uma figura com área igual a 9, já que  . Para completarmos o quadrado, devemos adicionar mais quatro quadrados de lado 2, conforme figura 3.

Obtemos, assim, um quadrado de área 25. Portanto, o lado do quadrado maior é 5 e x = 5 2 (2) = 1.
 

A fórmula que fornece as soluções de uma equação quadrática é atribuída ao matemático hindu Bhaskara (séc. XII).

Embora seja bastante conhecida sua dedução, a fim de completar a nossa exposição, vamos obter a fórmula de Bhaskara a partir de algumas transformações algébricas, da equação genérica  , com a, b, c R e a 0.

No fundo, vamos completar o quadrado obtendo um trinômio quadrado perfeito.

Se for um quadrado perfeito, basta fatorá-lo e isolar a incógnita.

Supondo que  o caso mais geral, somemos – c e ambos os membros da equação, pois com c no primeiro membro não podemos obter uma expressão do tipo (quadrado perfeito), para fatorarmos como .

Obtemos  e multiplicamos tudo por .

Assim, podemos extrair (posteriormente) a raiz quadrada do 1º termo do 1º membro, necessária para obtermos o binômio da fatoração.

Notemos que no 1º membro precisamos de mais um termo (procuramos um trinômio!), para continuarmos as transformações.

Este termo deve ser tal que, extraindo-se sua raiz quadrada e multiplicando-se o resultado pela raiz quadrada de , obtenha-se um numero igual à metade do termo 4abx.

Somemos, então b² a ambos os membros:

Chegamos afinal, a um quadrado perfeito no 1º elemento.

Como (2ax + b)² 0, a resolução de  em R depende do sinal de b² – 4ac, chamado, por isso, de discriminante da equação do 2º grau.

Se b² – 4ac 0, vem:

daí

e

que é a formula de Bhaskara.

Não é difícil, após termos entendido bem, mostrar aos alunos o aparecimento da fórmula.

Quanto às relações entre os coeficientes e raízes a dedução imediata, bastando tomar literalmente as duas raízes e calcular sua soma e seu produto.

Referências

[1]  C.B. Boyer, História da Matemática, Editora Edgard Blücher (1974)

[2]  E.T. Bell, The development of Mathematics, McGraw-Hill Book Co. (1945).