Flávio Wagner Rodrigues
Instituto de Matemática e Estatística
USP – Cx. P. 20570
01498 – São Paulo – SP

O jogo de pôquer é uma fonte bastante rica em exemplos e problemas interessantes, que podem ser utilizados para ilustrar aulas de Análise Combinatória e Probabilidade a nível do segundo grau. Neste artigo serão apresentados alguns exemplos, que servirão para mostrar como a hierarquia dos valores dos jogos no pôquer pode ser afetada pelo número de cartas utilizadas no jogo.

Em benefício dos leitores que desconhecem totalmente o assunto (e que tiveram curiosidade suficiente para iniciar a leitura), daremos uma breve descrição das regras e dos objetivos do jogo. Essa descrição se limitará a considerar a forma clássica do jogo, o assim chamado pôquer fechado de 5 cartas. Antes de iniciarmos, uma palavra de cautela se faz necessária. O conhecimento das probabilidades envolvidas nas diversas etapas do jogo contribuirá certamente para que o leitor se torne um jogador mais consciente mas, de modo algum permitirá que ele enfrente, com vantagens, profissionais ou mesmo amadores bem dotados. O jogo é bastante complexo, envolvendo habilidade, astúcia e uma capacidade de avaliar psicologicamente os adversários na hora das apostas, qualidades essas que certamente não são adquiridas no estudo da Teoria das Probabilidades.

No Brasil, o jogo utiliza um baralho comum de 52 cartas ou apenas uma parte dele, dependendo do número de parceiros envolvidos. Assim, por exemplo, quando o número de participantes é igual ou inferior a quatro, são eliminadas do baralho todas as cartas cujos valores são 2, 3, 4, 5 e 6, restando as trinta e duas cartas cujos valores vão do 7 até o Ás. Na medida em que o número de participantes vai aumentando, as cartas de valor 6, 5, 4 etc., vão sendo introduzidas até que com oito participantes, o baralho todo é utilizado. Na formação de seqüências, o Ás tem um duplo papel, funcionando como a carta mais alta e também como a carta de menor valor. Assim, por exemplo, se a menor carta em jogo é o 7, numa seqüência o Ás poderá valer 6.

O objetivo do jogo é combinar as cartas de modo a formar o melhor jogo possível, segundo uma hierarquia estabelecida pelas regras. Na primeira etapa do jogo cada participante recebe cinco cartas seguindo-se uma rodada de apostas, que obedece a um conjunto de regras que não interessam aos objetivos deste artigo. A seguir é facultado a cada jogador desfazer-se de até no máximo três de suas cartas, recebendo novas dentre aquelas que restaram no baralho. É a chamada fase das pedidas. Após uma nova rodada de apostas, os participantes que permaneceram no jogo, isto é, que pagaram todas as apostas feitas, mostram suas cartas e o dinheiro arrecadado vai para aquele que tiver o maior jogo.

Do ponto de vista do cálculo de probabilidades existem, portanto, dois problemas distintos a serem considerados. O primeiro deles envolve as probabilidades de que determinadas combinações de cartas sejam obtidas “de mão”, isto é, estejam contidas nas cinco cartas recebidas na primeira fase do jogo. O segundo, bem mais complexo, envolve as probabilidades de melhorarmos o nosso jogo na fase das pedidas e não será tratado neste artigo. No final faremos um breve comentário sobre o assunto e daremos algumas referências que o leitor interessado poderá consultar.

Damos abaixo uma descrição dos jogos em ordem decrescente de seus valores. Alguns nomes foram mantidos em inglês por já estarem consagrados pelo uso e também por não conhecermos uma tradução adequada.

1) “Royal Straight Flush” – É uma seqüência formada por um 10, um valete, uma dama, um rei e um Ás, todos de um mesmo naipe. Existem apenas quatro “royal straight flushes” no jogo, sendo um de cada naipe. Utilizando 36 cartas, a chance de recebermos um “royal” de mão é de apenas uma em 94248. Para aqueles que acharem essa probabilidade muito pequena é importante notar que ela é cerca de três vezes maior do que a de acertarmos a quina da Loto com um jogo de 10 dezenas.

2) “Straight Flush” – É qualquer seqüência de cartas de um mesmo naipe que não seja um “royal”. Com 36 cartas, o Ás pode ocupar o lugar do 5, o que nos dará um total de 20 “straight flushes”. Com o baralho todo o número de jogos deste tipo é igual a 36.

3) Quadra – É o jogo formado por quatro cartas de mesmo valor e de uma quinta carta qualquer. Assim por exemplo, uma quadra de reis poderia ser formada pelos 4 reis e por uma dama.

4)      “Flush” – É um conjunto de cartas de um mesmo naipe que não estão em seqüência. Assim, por exemplo, um “flush” de espadas poderia ser formado pelo 7, 9, V, D, A todos de espadas.

5)      “Fullhand” – É o jogo composto por uma trinca (três cartas de mesmo valor) e um par (duas cartas de mesmo valor). Assim, por exemplo, um “fullhand” de dama com valete é formado por três damas e dois valetes. É um jogo distinto do “fullhand” de valete com dama, que é composto por três valetes e duas damas.

6)      Seguida – É o jogo composto por 5 cartas em seqüência, nem todas do mesmo naipe. Exemplo: 9 de ouros, 10 de paus, valete de copas, dama de ouros, rei de paus.

7)      Trinca - É o jogo composto por três cartas de mesmo valor (por exemplo, três reis) e duas outras cartas quaisquer, que não formam par e que tenham valores distintos das cartas que compõem a trinca. Exemplos: i) 9,9,9,D,R; ii) V,V, V,7,10.

8)      Dois pares – Como o próprio nome indica é o jogo composto por dois pares e por uma quinta carta de valor distinto daquelas que compõem os dois pares. Exemplo: A,A,R,R,8.

9)      Um par – É o jogo composto por um único par e por três outras cartas de valores distintos entre si e distintos daquelas que compõem o par. Exemplo: 7,7,8,V,D.

10)  Nada de interesse – São todos os jogos pertencentes ao complementar da união dos jogos descritos acima. Se você receber um jogo deste tipo não se julgue um infeliz perseguido pelos deuses. A probabilidade de que isso ocorra é bastante alta, indo de cerca de 25%, com 32 cartas, até mais de 50% quando todo o baralho é utilizado.

Na descrição acima foram apresentado alguns resultados de contagens de totais de jogos de um determinado tipo e foram feitas afirmações sobre as probabilidades de obtenção de outros jogos. Nos exemplos seguintes procuraremos mostrar como são feitos esses cálculos. Em todos eles suporemos que estão sendo usadas 32 cartas, das quais um particular jogador receberá cinco escolhidas ao acaso, através do embaralhamento. Em

Exemplo 1 – Contagem do número de “fullhands” – Vamos iniciar com um problema mais simples, contando o número de “fullhands” de rei com dama, isto é, o número de jogos  formados por três reis e duas damas. Observe que os três reis podem ser escolhidos de   diferentes. Como cada uma das quatro trincas pode ser combinada com qualquer um dos seis pares para formar um “fullhand” de rei com dama, segue-se que existem 4 x 6 = 24 jogos distintos deste tipo. A próxima etapa será calcularmos quantos tipos distintos de “fullhands” existem. Para isto, vamos observar que dentre os oito grupos de cartas de mesmo valor, nós teremos que escolher um, no qual será selecionada a trinca e um outro do qual sairá o par. Para a primeira escolha existem 8 possibilidades  e para a segunda apenas 7, o que nos dá 8 x 7 = 56 tipos distintos de “fullhands”. Como cada um deles admite 24 jogos diferentes, segue-se que o total de “fullhands” é igual a 1344. A probabilidade de recebermos um “fullhand” de mão será portanto dada por: 1344/201376 0,67%.

Exemplo 2 – Contagem do número de “flushes”. Vamos considerar inicialmente os conjuntos distintos de cinco cartas. Como o mesmo raciocínio pode ser feito para os outros três naipes, teríamos aparentemente 56 x 4 = 224 “flushes”. No entanto, é fácil ver que neste total estão incluídos os quatros “royal straight flushes” e os 16 “straight flushes”. Segue-se portanto que, com 32 cartas, existirão 204 “flushes” puros.

Exemplo 3 – Contagem do número de trincas – Esse cálculo pode ser feito diretamente de maneira análoga à que foi utilizada no Exemplo 1 para contar o número de “fullhands”. No entanto, como este  número já foi obtido, nós podemos utiliza-lo para contar o número de trincas de um modo indireto e mais rápido. Vamos escolher uma das quatro trincas de reis e combiná-la com duas cartas quaisquer escolhidas entre as 28 que restam, quando Levando emconsideração as demais trincas teríamos 8 x 1512 = 12096 jogos. Neste total não existem quadras, pois o grupo que fornece a trinca é todo ele excluído na seleção seguinte. No entanto, é claro que nele estarão incluídos todos os “fullhands”. Subtraindo 1344 de 12096 encontraremos para o total de trincas o valor 10752, o que nos dará para a probabilidade de obtenção de uma trinca “de mão” o valor aproximado de 5,4%.

O leitor que comparar o “ranking” dos jogos encontrado na Enciclopédia Britância com o nosso verá que há uma inversão de posições entre o “fullhand” e o “flush”. Isto se deve ao fato de que lá a descrição está baseada na utilização do baralho completo, o que torna o “flush” mais fácil de ser obtido de mão do que o “fullhand”. É interessante observar ainda que com 32 cartas o “flush” é mais difícil de ser obtido “de mão” do que uma quadra. Essa mudança no valor relativo dos jogos, que será mostrada nos exemplos seguintes, se deve ao fato de que os jogos não têm todos a mesma natureza. É claro que nenhuma mudança no número de cartas poderia fazer com que uma quadra ficasse mais fácil de ser obtida do que uma trinca. Jogos como a quadra, o “fullhand” e a trinca dependem de seleções feitas nos conjuntos de cartas de mesmo valor, enquanto um jogo como o “flush” depende de escolhas feitas nos conjuntos de cartas de mesmo naipe. É razoável portanto que uma mudança no número de cartas faça que as probabilidades variem num mesmo sentido, mas não necessariamente com a mesma intensidade.

Exemplo 4 – Cálculo do número de quadras – Utilizando 32 cartas, uma quadra de reis é um jogo formado pelos quatro reis e por uma quinta carta escolhida dentre as 28 restantes. Existem portanto 28 jogos que contêm uma quadra de reis. O mesmo raciocínio aplicado às demais cartas nos permite concluir que com 32 cartas teremos um total de 8 x 28 = 224 quadras. Vimos no Exemplo 2 que o número de “flushes” puros é de apenas 204, o que justifica a nossa observação de que, com 32 cartas, o “flush” é mais difícil de ser obtido de mão do que a quadra.

Observação – A situação se inverte quando passamos a usar 36 cartas. Adaptando os cálculos feitos nos exemplos 2 e 4 pra essa situação vemos que o número de quadros passa a ser 288 enqunto o o número de “flushes” será igual a 480.

Exemplo 5 – Número de “flushes” e “fullhands” com 52 cartas – a) Quando o baralho conjuntos distintos de cinco cartas de ouros. Considerando os demais naipes teríamos um total de 4 x 1287 = 5148 jogos. Subtraindo deste total os 4 “Royal straight flushes” e os 36 “straight flushes” teremos um total de 5108 “flushes” puros.

b) É fácil ver que para cada tipo de “fullhand” nós continuaremos a ter 24 jogos possíveis. Agora, no entanto, nós dispomos de 13 grupos de cartas de mesmo valor, o que nos dará 13 x 12 = 156 tipos diferentes de “fullhands”. Portanto o número total de “fullhands” será 24 x 156 = 3744.

Como pode ser visto nos exemplos acima, o “flush” desempenha um papel curioso na hierarquia dos jogos do pôquer. Ele, que com 32 cartas é o terceiro jogo mais difícil de ser obtido, cede essa posição para a quadra a partir das 36 cartas e finalmente termina na quinta posição, cedendo a quarta para o “fullhand” quando o baralho todo é utilizado.

Esperamos que a discussão feita até aqui sirva de motivação e estímulo para que o leitor faça as contagens correspondentes aos demais jogos do pôquer.

Aqueles que desejarem verificar os resultados obtidos encontrarão no Apêndice uma tabela com os totais de jogos de cada tipo em função do número de cartas utilizadas.

Um problema teórico interessante, que poderia ser proposto a estudantes curiosos, seria a análise de que outra mudanças poderiam ocorrer se o número de cartas não fosse limitado em 52. Para isto, poderíamos imaginar um baralho com quatro naipes e 4n cartas numeradas de 1 a n, com o 1 representando o duplo papel que cabe ao Ás no baralho comum. Será que existe algum valor de n a partir do qual o “flush” fica mais fácil de ser obtido do que uma trinca? Será que as seguidas permaneceriam sempre na mesma posição?

Para concluir vamos fazer um breve comentário sobre as probabilidades envolvidas na segunda fase do jogo, isto é, na fase das pedidas. Vamos supor que você é o primeiro a pedir cartas num jogo com 4 participantes e que portanto restam no baralho 12 cartas. Você recebeu quatro cartas de ouros e uma de espadas (que você descartou). Qual é a probabilidade de que você consiga fechar um “flush” de ouros? Como a carta que você irá receber é a vigésima-primeira, o que se deseja é a probabilidade de que num conjunto de 32 cartas, bem embaralhadas, a vigésima-primeira seja uma carta de ouros. Se você não tivesse olhado suas cartas, isto é, não dispusesse de nenhuma informação adicional, a resposta a essa pergunta seria obviamente ¼. No entanto, como você olhou suas cartas, o que nós precisamos é da probabilidade condicional de que a vigésima-primeira carta seja de ouros dado que entre as 20 primeiras cartas existiam pelo menos quatro cartas de ouros e pelo menos uma de espadas. O leitor interessado no cálculo de probabilidades deste tipo poderá consultar os capítulos X e XI do livro de Levinson citado na bibliografia.

Bibliografia recomendada

1 –  Feller, W. – Introdução à Teoria das Probabilidades e suas aplicações – Capítulo 2 –  Editora Edgard Blücher – S. Paulo.

2 –  Goodman, A. W. & Ratti, J. S. – Finite Mathematics with Applications. Second Edition – Chapter 5 – Macmilan Publishing Co. – N.Y.

3 –  Levinson, H. C. – Chance, Luck and Statistics. – Dover Publications Inc. Chapters X, XI.

Apêndice
Número de Jogos de Cada Tipo Segundo o Número de Cartas Utilizadas.
 

NOTAS

1) Para obter as probabilidades associadas a cada jogo basta dividir o número encontrado na Tabela pelo total correspondente na última linha horizontal.

2)  É interessante observar que para alguns tipos de jogos o incremento é uma constante, isto é, independe do número de cartas utilizadas.

O caso mais notável é o das seguidas para as quais o incremento é igual a 1020.

3)  Uma curiosidade digna de nota é que quando o número de cartas utilizadas é menor do que 48 é mais fácil obter um par do que receber um jogo que não tenha nada de interesse.