A nova correção monetária e a raiz cúbica

Uma colega de São Paulo procurou-nos para perguntar sobre o algoritmo para o cálculo da raiz cúbica do qual ela já se esquecera. Em virtude da nova regra para o cálculo da correção monetária “o índice (fator) de correção monetária de abril deve ser calculado como a média geométrica dos índices (fatores) de inflação de janeiro, fevereiro e março” ela se viu às voltas com o cálculo da raiz cúbica.

RPM:

Com efeito, a média geométrica entre três números positivos é a raiz cúbica de seu produto sendo necessário portanto calcular uma raiz cúbica para deduzir o índice de correção monetária. Ótimo para o professor de Matemática que precise ensinar o cálculo de raízes. Quanto ao algoritmo, entretanto, é importante observar a nota da redação ao estudo do algoritmo da raiz quadrada (RPM, nº 2, pág. 27) que, no caso da raiz cúbica, adquire ainda um colorido mais forte. Vejamos, então, alguns métodos para o cálculo da raiz cúbica que são análogos àqueles descritos para o cálculo da raiz quadrada e que foram esboçados naquela nota da redação do nº 2 da RPM. Hoje em dia, com o advento das calculadoras, estes métodos são muito mais simples do que o algoritmo que nós, os mais velhos, aprendemos nos bancos escolares. No final, como aplicação de tais métodos, calcularemos o índice da correção monetária do mês de abril.

1. O método das tentativas: consiste no cálculo sucessivo do cubo de alguns números e funciona bem para números com poucos algarismos enquanto, para números de representação mais longa, exige o auxílio de uma calculadora. No exemplo em questão, do cálculo do índice da correção monetária, ele apresenta a vantagem de que, em meses sucessivos, a variação não deve ser muito grande, o que torna os cálculos de um mês úteis para os meses seguintes.

2. O método das aproximações sucessivas: na RPM, nº 4, à pág. 25, foi publicado um artigo sobre o cálculo da raiz n-ésima de um número por este processo. Assim é que, para o caso da raiz cúbica do número C (C > 0), a partir de uma aproximação qualquer x0 (x0 > 0), construíram-se outras aproximações por meio da expressão:

.

É claro que uma eficiência maior (menos etapas) deste método, também conhecido como método de Newton, pode ser obtida com uma escolha mais conveniente de x0. Em relação a este método, lembrando sua justificativa geométrica e a forma da curva y = x3 – C, verificamos que, quer seja x0 aproximação por falta ou por excesso da , as demais aproximações x1, x2,... serão sempre aproximações por excesso e as diferenças 1x = x1 x0,  2x = x2 x1, 3x = x3 x2, , etc. serão sempre positivas e formam uma seqüência decrescente.

3. Tabelas: aqui podemos considerar tabelas de raízes cúbicas ou tabelas de cubos ou ainda tabelas de logaritmos. No exemplo que pretendemos analisar, podemos considerar um método misto entre este e o primeiro – o das tentativas. Isto é, construímos nossa própria tabela (n, n3) que pode ser usada mês com poucos acréscimos, de vez que mesmo havendo grandes mudanças no índice de inflação, os índices de correção monetária não mudarão tão bruscamente. Aliás, pode ter sido esta uma das motivações para a nova regra de cálculo da CM.

fica por conta delas. Outras, ainda, calculam logaritmos, mas, mesmo as calculadoras mais simples, que só dispõem das quatro operações, podem ser muito úteis no desenvolvimento dos processos apresentados anteriormente. É o que ilustramos a seguir.

Exemplo: Calcule o índice de correção monetária do mês de abril, sabendo que em janeiro a taxa de inflação foi de 12,6%, em fevereiro foi de 10,2% e em março de 12,7%.

Resolução: O índice de correção monetária procurado será, portanto, a média geométrica entre os índices de janeiro, fevereiro e março, isto é, a raiz cúbica do produto.

1,126 . 1,102 . 1,127 = 1,39844. (=C)

-    Métodos 1 e 3: (se queremos a correção monetária com 1 decimal, devemos calcular o índice com 3 decimais)

 

Daqui se conclui que o índice está entre 1,118 e 1,119, logo a porcentagem é de 11,8% (aproximação por falta). Como foi dito acima, esta tabela pode ser guardada para o cálculo nos meses seguintes.

-    Método 2 (das aproximações sucessivas ou de Newton):

Partindo de x0 = 1,117, obtemos a seguinte tabela:

i xi xi2 xi3 xi3 - C
0
1
1,117
1,11827
1,24769
1,25053
1,39367
1,39843
- 0,00477
- 0,00001
+ 0,00127
0

(Calculadora Novus 850)

onde, dentro da precisão desejada, o processo já estacionou e, novamente, obtemos o resultado para o índice: 1,118... que dá uma correção de 11,8%.

Observações sobre o cálculo acima:

(i)      a partida de x0 = 1,117 é sugerida pelo argumento seguinte: sendo p o menor dos três números (positivos) dos quais se calcula a média geométrica e q o maior deles tem-se que a média geométrica (como qualquer outra média) está entre p e q. Se a for a média aritmética entre os três números, a média geométrica estará entre p e a e muito mais perto de a se os três números forem da mesma ordem de grandeza. No caso em questão, p = 1,102 e a = 1,1183, começamos por x0 = 1,117.

inutilizadas com zeros à esquerda e os algarismos significativos estando muito à direita merecem menos confiança (v. pág. 25). Assim é que se obtém um resultado mais seguro quando se parte de , por exemplo, fazendo os devidos acertos no final. Esta é uma boa ocasião para mostrarmos aos nossos alunos como o uso da máquina exige uma certa vigilância crítica além de uma habilidade de cálculo mental, principalmente, para avaliação de ordem de grandeza.

(iv)  uma outra oportunidade de ilustrar isto seria, por exemplo, no caso em que, ao invés da média geométrica dos números acima, pretendêssemos calcular a média geométrica dos números 1001, 1002 e 1003. Deveríamos calcular a raiz cúbica do número C = 1001 X 1002 X 1003 que já não pode ser calculado nas máquinas que estamos usando. Um recurso possível multiplicada por 10, dará a média procurada.

 

-   Josefina Isabel R. Martins, Paulínia-SP, pede informações quanto à bibliografia referente ao matemático brasileiro Joaquim Gomes de Sousa.

A obra de Joaquim Gomes de Sousa (o Sousinha) está coletada no volume “Melánges de Calcul Intégral”, obra póstuma, acrescida de um memorial do autor sobre o som e de um prefácio de M. Charles Henry. Imprimerie de Fabrockhaus Leipzig (1882), 280 páginas. Trata-se de uma obra rara que pode ser consultada na Biblioteca Carlos Benjamin de Lyra do IME/USP (Cidade Universitária – São Paulo) ou na Biblioteca do IMPA (Estrada Dona Castorina, 110 – Jardim Botânico – Rio de Janeiro).

-   Entre outros problemas, o colega José R. Vasconcelos, Fortaleza – CE, apresenta o seguinte teste: Num triângulo ABC, cujo lado AC mede 6 cm, considere a ceviana AD que divide internamente o lado BC nos segmentos BD de 5 cm e DC de 4 cm. Se  e , então o ângulo  mede:

(a)  75º    (b) 65º            (c) 55º                         (d) 45º             (e) 35º

 

RPM:

Um tal triângulo não existe. Você pode tentar desenha-lo; faremos aqui uma verificação usando a lei dos senos. Com efeito, de    , segue que  e deveríamos ter:

o que é impossível pois

 e .

Donde concluímos que os dados do problema são incompatíveis.

-   João Candido M. Neves, Santa Maria – RS, pede que calculemos a soma 1 + 11 + ... + 11 ...1, onde a última parcela é um número de n algarismos todos iguais a 1. (V. Lidsky, Problemas de Matemática Elementar ou RPM, nº 3, pág. 38)

 

RPM:

Seja Sn = 1 + 11 + ... + 11...1 a soma procurada. Podemos escrever: aparece a soma dos termos de uma PG, logo

e, usando novamente a fórmula que dá a soma dos termos de uma PG, vem finalmente:

.

-   O mesmo colega pede ainda a solução do sistema

(mesma referência)

 

RPM:

Os pares (x, y) que satisfazem à equação |x| + |y| = 1 são as coordenadas dos pontos do (contorno do) quadrado de vértices (1, 0), (-1, 0), (0, 1) e (0, -1).

Para encontrar as soluções da primeira equação, utilizamos as fórmulas de transformação de soma em produto para o 1º membro e a fórmula de arco duplo para o 2º membro. A equação pode ser reescrita, então, como

,

ou

,

donde tiramos

ou

 

As equações (1), (2) e (3) correspondem, respectivamente, a um feixe de retas paralelas à bissetriz dos quadrantes pares, outro de retas paralelas ao eixo dos x e outro ao eixo dos y, retas estas que cortam os eixos nos pontos de coordenadas que são múltiplos de 2.

As intersecções destas retas com o quadrado acima dão as seis soluções do problema: