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| José
Marcos Lopes
Os Parâmetros Curriculares Nacionais [2] consideram: "a resolução de problemas é peça central para o ensino de Matemática, pois o pensar e o fazer se mobilizam e se desenvolvem quando o indivíduo está engajado ativamente no enfrentamento de desafios". Com a intenção de mostrar a meus colegas professores de Matemática como trabalhei com a resolução de problemas de modo a seguir a citada indicação dos Parâmetros, relato a seguir uma aula de aproximadamente 50 minutos que ministrei no Programa Teia do Saber da Secretaria de Estado da Educação - São Paulo, para professores efetivos que atuam no ensino médio. A idéia é que os colegas leitores possam aproveitar a atividade para aplicação em suas salas de aula. Objetivos da aula: Introduzir os conceitos: experimento aleatório, espaço amostral e evento. Os problemas apresentados a seguir foram trabalhados em grupos que receberam algumas moedas e alguns dados, materiais concretos utilizados como apoio para a resolução dos problemas. Todos os grupos deveriam formular uma solução para o problema proposto e posteriormente um desses grupos foi escolhido para apresentar a sua solução. Nos problemas, o grupo deveria escolher o jogo que considerava ter maiores chances de vencer. Depois da escolha, um aluno do grupo foi convidado a jogar com o professor. Em caso de vitória do aluno, todos os componentes do grupo seriam contemplados com um bombom, como forma de recompensa. Nesses problemas iniciais, os alunos devem fazer suas escolhas pela intuição. Posteriormente, deverão ser capazes de calcular o valor exato da probabilidade de vitória em cada jogo e perceber que às vezes a intuição falha. Alguns dos problemas foram extraídos de [1] e outros foram adaptados.
Jogo de moeda: O jogador ganha se no lançamento de uma moeda ocorrer a face cara. Jogo de dado: O jogador ganha se no lançamento de um dado ocorrer a face 6. Solicitei que cada grupo, utilizando o material concreto, efetuasse algumas jogadas, tanto da moeda como do dado, para subsidiar sua escolha. O uso do material concreto é também importante para a descrição de todos os resultados possíveis de cada experimento. Comentários e sugestões Depois de realizado o jogo, fiz os questionamentos abaixo.
Essas perguntas, bem como outras que o professor considerar necessárias, deverão ser feitas sempre ao final de cada problema (jogo). Sem apresentar definições formais ou nomes,
explorei o fato de que no jogo da moeda temos dois resultados possíveis
{cara, coroa} O problema 1 tem por objetivo a formação dos conceitos de experimento aleatório e espaço amostral, conceitos esses que serão definidos apenas no final do trabalho.
Jogo de moeda: O jogador ganha se no lançamento de uma moeda ocorrer a face cara. Jogo de dado: O jogador ganha se no lançamento de um dado ocorrer um número par ou um número ímpar. Comentários e sugestões Repeti as mesmas perguntas feitas após a solução do Problema 1, tendo sugerido novamente que utilizassem o material concreto antes de efetuarem a sua escolha. Sem apresentar a definição formal e o nome, explorei o fato de que no jogo do dado temos uma situação que sempre irá ocorrer (evento certo). Antes mesmo da realização do jogo, a salivação dos elementos do grupo aumentou, pois sabiam que seriam contemplados com um bombom.
Jogo de moedas: O jogador ganha se no lançamento simultâneo de duas moedas ocorrerem faces iguais. Jogo de dados: O jogador ganha se no lançamento simultâneo de dois dados a soma dos números das faces voltadas para cima for igual a 13. Comentários e sugestões Com o mesmo procedimento dos problemas anteriores, explorei o fato de que no jogo dos dados temos uma situação que não pode ocorrer (evento impossível ). Assim, a melhor escolha para o grupo é o jogo das moedas. Nesse caso, o grupo tem duas chances em quatro de vencer o jogo. Mostrei também que os resultados possíveis (espaços amostrais) são dados respectivamente por: {cara-cara, cara-coroa, coroa-cara, coroa-coroa}
Jogo de moedas: O jogador ganha se em três lançamentos consecutivos de uma moeda saírem três coroas. Jogo de dados: O jogador ganha se no lançamento simultâneo de dois dados ocorrerem números iguais. Comentários e sugestões Da mesma forma, repeti as perguntas e sem formalismo mostrei que os resultados possíveis (espaços amostrais) eram respectivamente: {CCC, CCK, CKC, CKK, KCC,
KCK, KKC, KKK} {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2),
... , (3,1), (3,2), ... , (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} Nesse caso, a melhor escolha é o jogo dos dados, pois temos 6 chances em 36 de vencer, enquanto no jogo da moeda temos apenas uma chance em 8 de vencer. Continuamos admitindo implicitamente que todos os resultados desses jogos são igualmente possíveis. Em tal situação pode-se observar também que estamos, intuitivamente, calculando a probabilidade como [1]: probabilidade =
Jogo de moedas: O jogador ganha se no lançamento simultâneo de quatro moedas ocorrer pelo menos uma cara. Jogo de dados: O jogador ganha se, no lançamento simultâneo de dois dados, o maior dos números obtidos for maior ou igual a 3. Comentários e sugestões Esse é o problema mais difícil da série e tem por objetivo explorar o conceito de evento complementar. Para isso devemos considerar a chance de não vencer o jogo. Pode acontecer que os alunos, num primeiro momento, tenham dificuldade de raciocinar dessa forma. Como nos problemas anteriores, sem formalismo e utilizando o material concreto, mostrei que, quando lançamos simultaneamente quatro moedas, temos 16 resultados possíveis e dentre esses resultados poderão ocorrer: quatro caras, três caras, duas caras, uma cara ou nenhuma cara. Assim, o jogo não será vencido apenas se nenhuma cara ocorrer, isto é, no caso KKKK ( K denota coroa). Assim, o grupo terá uma chance em 16 de não vencer o jogo de moedas (e 15 em 16 de vencê-lo). No jogo dos dados, a derrota ocorrerá somente nos casos: (1,1), (1,2), (2,1) e (2,2). Assim, haverá 4 chances em 36 de não vencer esse jogo (e 32 em 36, ou 8 em 9, de vencê-lo). Portanto, o mais conveniente para o grupo é escolher o jogo que apresenta a menor chance de derrota, ou seja, o jogo das moedas.
Após o trabalho com problemas do tipo dos apresentados, cujo número depende de cada sala e da análise do professor, o estudo sistematizado de Probabilidades, com apresentação de definições formais, será, provavelmente, feito com mais facilidade. A utilização da metodologia de resolução de problemas em sala de aula é mais trabalhosa para o professor, mas certamente muito mais produtiva para os alunos. O aluno torna-se ativo na construção do seu próprio conhecimento. Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais [2], "a postura do professor de problematizar e permitir que os alunos pensem por si mesmos, errando e persistindo, é determinante para o desenvolvimento das competências juntamente com a aprendizagem dos conteúdos específicos". Mudar a forma de ensinar Matemática é tarefa árdua e lenta; mas só depende de nós, professores. Referências bibliográficas [1] MORGADO, A.C.O. et alii. Análise
Combinatória e Probabilidade. Coleção do Professor
de Matemática _ SBM. Rio de Janeiro, RJ, 2004.
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2 elementos; no jogo do dado temos os resultados possíveis {1,
2, 3, 4, 5, 6} 
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