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| Ana
Catarina P. Hellmeister
Tenho participado de vários encontros de professores, promovidos por Universidades ou Sociedades de Matemática, em diferentes Estados brasileiros, ministrando palestras ou minicursos, sempre baseados em artigos publicados na RPM. A boa aceitação dessas atividades, por parte dos participantes, e a constante solicitação de nossos leitores por textos que possam ser aplicados no ensino fundamental serviram de motivação para que eu escrevesse este artigo (e talvez outros, no futuro), reproduzindo textos já publicados na RPM há muitos anos, mas de forma atualizada, detalhando melhor certas passagens e, eventualmente, acrescentando alguma coisa ao texto original. Também levei em conta que a apresentação ou linguagem utilizada nesses artigos antigos, o tempo da publicação e o fato de estarem espalhados em diversos números da revista dificultam o acesso a eles pelos professores atualmente na sala de aula. Escolhi começar agrupando e ampliando as atividades publicadas envolvendo palitos de sorvete ou fósforo, ou varetas.
Com palitos de sorvete e percevejos, os alunos podem construir polígonos de lados iguais, como triângulos, quadriláteros, pentágonos, hexágonos, etc. Além da identificação dos polígonos, as construções levam os alunos a uma observação importante: com exceção do triângulo, todos os demais polígonos não têm rigidez, isto é, são deformáveis. O professor pode, então, chamar a atenção para o fato de que, com exceção do triângulo, é possível construir polígonos com lados iguais, ou equiláteros, mas com ângulos diferentes, como mostram as figuras abaixo. Fica claro que um polígono com 4 lados, ou mais, não fica determinado apenas pelos seus lados.
Dependendo do nível dos alunos, o professor pode discutir por que, para a semelhança de triângulos, diferentemente do que acontece para outros polígonos, basta impor condições sobre os lados ou, independentemente, sobre os ângulos.
Outras observações
1. Como os palitos são iguais, as deformações conservam o perímetro do polígono. E as áreas? Também são conservadas? Por quê? Temos aqui uma motivação para o estudo de expressões que fornecem áreas de losangos, paralelogramos, etc. 2. Como as deformações permitem a construção de polígonos não convexos, há a oportunidade de o professor introduzir o conceito de convexidade e estudar propriedades de polígonos convexos, como, por exemplo, a soma dos ângulos internos, e comparar com o que acontece nos não convexos. Num polígono convexo de n lados, basta
traçar, a partir de um dos vértices, as n - 3 diagonais
que decompõem o polígono em n - 2 triângulos,
para verificar que a soma dos ângulos internos é igual a
(n - 2).180o. Um exercício interessante que o
professor poderia propor aos alunos seria mostrar que, no caso de deformações
com os palitos, no pentágono, por exemplo, a fórmula continua
válida. Vejamos. Supondo que o pentágono construído com os palitos tenha todos os ângulos iguais (regular), teríamos: 5 O professor pode pedir aos alunos que calculem as medidas dos ângulos internos dos pentágonos deformados (não mais convexos) das figuras abaixo e determinar sua soma.
Para ilustrar a idéia de que a soma dos ângulos internos de um polígono não convexo de n lados pode ser dada pela mesma fórmula, (n - 2).180o, o professor pode montar algumas figuras com os palitos e mostrar que ainda é possível decompor o polígono em triângulos, desde que se faça uma escolha cuidadosa das diagonais (ver [6]).
3. A rigidez dos triângulos tem aplicações práticas bastante utilizadas em construções ou estruturas de ferro ou madeira, como mostram as figuras:
Vamos descrever uma das modalidades do jogo do Nim, um jogo de palitos, provavelmente proveniente da China. Para jogar, os alunos devem ser divididos em pares, podendo o professor elaborar regras para um campeonato, tabulando resultados, calculando porcentagens, etc. Ou, ainda, como veremos mais à frente, o professor pode levar os alunos a determinar quais as operações matemáticas envolvidas em uma estratégia para vencer. O jogo Coloca-se sobre uma mesa uma fila com um número qualquer de palitos. Os dois jogadores jogam alternadamente e cada jogador retira, na sua vez, um determinado número de palitos da mesa. Deve-se retirar pelo menos um palito a cada jogada, e a quantidade de palitos a ser retirada deve ter um limite máximo, previamente fixado. Perde o jogador que retirar o último palito. Consideremos um exemplo: vamos supor a fila da mesa com 29 palitos e o número máximo de palitos por retirada igual a 4. O professor pode dar um determinado tempo para as duplas de alunos jogarem livremente e depois questionar se algum aluno percebeu o que fazer para ganhar. Em geral, alunos, mesmo de 5a série, percebem a estratégia vencedora para o primeiro jogador, que descreveremos a seguir. Vamos chamar o primeiro jogador de A e o segundo de B. A ganhará se receber de B, na sua penúltima jogada, um número de palitos entre 2 e 5, pois retirará 1, 2, 3 ou os 4 permitidos, deixando o último para B, que então perde o jogo. Vamos estabelecer um método de jogo para A de modo que, em algum momento, ele receba de B exatamente 5 palitos. A pensa: vou dividir (mentalmente) os palitos da mesa em grupos de 5.
5 grupos de 5 palitos e uma "sobra" de 4 palitos 1a jogada de A: retirar 3 palitos da "sobra", deixando 1 para B retirar no final. Jogadas seguintes de A: retirar sempre o que falta para completar cada grupo de 5 palitos, considerando o que B retirou na vez dele. Simulação
Última jogada: B retira o último palito e perde o jogo. O professor pode mostrar aos alunos que, na verdade, o que o jogador A faz é retirar, a cada vez, o resto da divisão dos palitos que estão na mesa (excluindo-se o "1" que deve sobrar para o jogador B) por 5. Por exemplo, antes de fazer a 5a jogada da simulação, A encontra na mesa 29 - 3- 3 - 2 - 1 = 20 palitos; 20 - "1" = 19 e A retira 4 palitos, que é o resto da divisão de 19 por 5. Atividade proposta Pedir aos alunos que façam simulações, efetuando divisões e calculando restos, de jogos com diferentes quantidades iniciais de palitos e variadas retiradas máximas. Para as primeiras séries do ensino fundamental, simplesmente jogar é uma forma lúdica de trabalhar a divisão e diferenças. Para séries mais avançadas, o professor pode tentar mostrar que a estratégia descrita funciona desde que verificadas as condições: N: número de palitos na mesa; n: número máximo de palitos para cada retirada, com n + 1 < N e N = k(n+1) + r, com r > 2.
Ou seja, podemos formar k blocos de n + 1 palitos e deixar uma sobra de pelo menos 2 palitos para que A possa fazer sua retirada e deixar o "1" para B retirar no final. Pode-se perguntar: o que acontece se o resto for zero ou 1? No caso, por exemplo, de 42 palitos e retirada máxima de 5 palitos, ou 43 palitos e retirada máxima de 5 palitos, é possível estabelecer uma estratégia vencedora? Para que jogador? Enfim, cabe ao professor sentir que questionamentos sua sala pode entender e responder... Nota: Há formas mais sofisticadas do jogo do Nim, com estratégias mais complicadas de ganho, dificilmente compreensíveis para alunos do ensino fundamental. Uma delas está publicada em [4].
1. Nas figuras abaixo, desloque um só palito de fósforo para obter uma sentença verdadeira:
2. Na figura, uma cereja está em um copo formado por 4 palitos de fósforo. Mude a posição de 2 dos palitos de modo que você ainda tenha o copo, mas a cereja fora dele.
Referências bibliográficas [1] RPM
1, p. 22 - ...probleminhas. |
= (5-2)180o = 540o , logo, 
3.
Os 16 palitos da figura formam 5 quadrados "iguais".
Desloque exatamente 2 deles para obter 4 quadrados "iguais".