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| Alex
Oleandro Gonçalves
Quem nunca brincou de preencher um quadrado mágico? - aquele em que você tentava dispor vários números de forma que a soma fosse a mesma nas diagonais do quadrado, nas linhas e também nas colunas. A RPM já publicou vários artigos sobre quadrados mágicos: RPM 39, p. 20; RPM 41, p. 12; RPM 48, p. 39, e RPM 51, p. 28. Neste artigo vamos olhar para os quadrados 3 x 3 de um modo um pouco diferente, trabalhando com a paridade dos números. Vemos aqui uma atividade que pode ser desenvolvida em sala de aula no momento do estudo desse tema. No quadrado 3 x 3, a "soma mágica" (soma dos números de cada linha, coluna ou diagonal) é igual a 15, pois os números usados são 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, e 9, cuja soma é 45 e 15 é igual a 45 dividido por 3 (linhas ou colunas). Entre os números de 1 a 9 temos cinco números ímpares e quatro pares. Todas as possíveis combinações de três parcelas são:
As combinações que servem para o quadrado 3 x 3 são, portanto, a segunda e a quarta, pois 15 é um número ímpar. O número que deve ocupar o centro do quadrado
merece uma atenção especial. Suponhamos que o número do centro seja par. Temos então as seguintes possibilidades para a primeira diagonal (I indica número ímpar e P par). Isso leva às seguintes possibilidades para a segunda diagonal:
Em qualquer um dos casos, para preencher o quadrado, teríamos que ter uma linha ou uma coluna com três números ímpares. Vejamos, por exemplo, o caso da primeira combinação:
O leitor pode verificar que é impossível preencher o segundo quadrado com apenas quatro números pares de modo a obter soma ímpar nas linhas. Analogamente, pode-se verificar que qualquer uma das outras combinações (com número par na posição central) é impossível. Só nos resta colocar um número ímpar na posição central. Temos então as seguintes combinações para as duas diagonais:
A primeira combinação não fornece solução, uma vez que os quatro espaços restantes deveriam ser preenchidos por números pares, implicando soma par em todas as linhas e colunas. O mesmo acontece com a segunda e a terceira combinações, pois precisaríamos preencher os espaços restantes com números pares, sendo necessários seis deles, e temos apenas quatro. Logo, a única possibilidade de solução é dada pela última combinação. Analisemos, agora, as combinações de três números, com dois deles pares, que fornecem soma 15: 6 + 1 + 8; 2 + 5 + 8; 2 + 7 + 6; 2 + 9 + 4; 4 + 3 + 8 e 4 + 5 + 6. O único número ímpar que se apresenta em duas (diagonais) das adições anteriores é o número 5; logo, 5 deve ser o número do centro do quadrado, ficando:
Exibimos abaixo algumas soluções e deixamos para o leitor determinar as outras.
Para o leitor interessado sugerimos os exercícios com quadrados mágicos de Berloquin, Pierre. 100 jogos numéricos. Editora Gradiva, Lisboa; Bolt, Brian. Actividades Matemáticas. Editora Gradiva, Lisboa.
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ou
composições geradas por rotações desses números.
