Adalberto A. Dornelles Filho
aadornef@ucs.br

Neste artigo vamos mostrar que o estudo de sistemas lineares indeterminados pode ser útil para abordar um problema nutricional.

O leitor já deve ter reparado que as embalagens de alimentos trazem informações sobre o valor energético, quantidades de carboidratos, gorduras, sódio, proteínas, etc. contidas nos produtos e quanto cada uma dessas quantidades representa percentualmente nos Valores Diários de Referência - VDR para uma alimentação adequada.

Após vasculhar a geladeira e os armários da cozinha, montamos a tabela a seguir, que mostra os valores nutricionais de alguns alimentos encontrados: arroz e feijão in natura, peito de frango empanado congelado, suco de laranja pasteurizado e adoçado, pão tipo francês e margarina sem sal.

Principais nutrientes de alguns alimentos

 
Arroz
(50 g)
Feijão
(30 g)

Frango
(80 g)
Suco
(200 ml)
Pão
(50 g)
Margarina
(14 g)
VDR
Energia (kcal)

190

100
150
120
130
45
2000
Carboidratos (g)
37
16
8
30
28
0
300
Proteínas (g)

3

7
13
1
4
0
75
Gorduras totais (g)
0
0
6
0
1,5
5
55

     Sistema linear

Para montar uma dieta é necessário determinar as quantidades x1, ..., x6 (em porções) de cada alimento, necessárias para compor o VDR. Isso corresponde a resolver o sistema linear.
             
(1)
190x1+
100x2+
150x3+
120x4+
130x5+
45x6=
2000
37x1+
16x2+
8x3+
30x4+
28x5+
=
300
3x1+
7x2+
13x3+
x4+
4x5+
=
75
6x3+
1,5x5+
5x6=
55
             

Observe que o sistema (1) possui quatro equações, correspondentes ao número de nutrientes, e seis incógnitas, correspondentes ao número de alimentos. A melhor maneira de resolver o sistema é por escalonamento, utilizando operações elementares-linha, conforme descrito em [1] ou [2], transformando o sistema (1) na forma escalonada reduzida.
             
(2)
x
    
-
0,33x5+
45x6=
0,19
x2
+
0,07x5+
=
-8,05
   
x3
+
0,25x5+
=
9,16
x4+
1,24x5+
5x6=
11,60
             

O sistema (2) é possível e indeterminado, isto é, possui infinitas soluções. Os valores para x1, ..., x4 dependem de valores escolhidos para x5 e x6, ditas variáveis livres. Assim, podemos expressar x1, ..., x4 em termos de x5 e x6. Temos então:
       
(3)
x1 =
0,19 +
0,33x5
0,17x6+
x2 =
8,05
0,07x5+
1,68x6+
x3=
9,16
0,25x5
0,25x6+
x4 =
11,60
11,60x5
1,24x6+
       

Observe-se, no entanto, que nem toda solução matemática é utilizável na situação prática, já que numa dieta é necessário escolher x5 > 0 e x6 > 0 de modo que  também  tenhamos x1 > 0, ..., x4 > 0. Assim, a partir de (3) obtemos as condições:
x6 < 1,89x5 + 1,09    
x6 > 0,04x5 + 4,76
x6 < - 0,30x5 + 11,00
x6 < - 2,71x5 + 25,30
(4)

 

 

Cada uma das inequações de (4) corresponde a um semiplano no sistema de eixos x5 x6. Os valores de x5 e x6 que satisfazem simultaneamente todas as inequações pertencem à região de interseção dos semiplanos.

Essa região está hachurada na figura a seguir.

     Uma dieta

De acordo com a figura, uma possível dieta pode ser obtida escolhendo x5 = 5 e x6 = 6. Substituindo esses valores em (3), obtemos:

x1 = 0,81; x2 = 1,71; x3 = 2,91 e x4 = 2,64,

o que corresponde, aproximadamente, a 40 g de arroz, 50 g de feijão, 230 g de frango, 520 ml de suco, 250 g de pão e 84 g de margarina. Bom apetite!

Observações

O colega professor pode propor outros problemas mais interessantes (e mais complicados) se mais nutrientes e alimentos forem considerados. Além da dieta "normal", outras podem ser trabalhadas, como dietas de redução ou aumento de calorias, de restrição de sódio, restrição de gorduras, etc.

O envolvimento dos alunos na solução de problemas do tipo considerado pode oferecer uma oportunidade para a reflexão de temas como agricultura e produção de alimentos, fome e desigualdade social e econômica, etc.

Por fim, não custa lembrar que, evidentemente, a dieta aqui proposta tem caráter didático; apenas médicos ou nutricionistas podem prescrever dietas alimentares.

 

 

Referências bibliográficas

[1] LAY, David C. Álgebra linear e suas aplicações. 2a edição. LTC, 1999.
[2] PAIVA, Manoel. Matemática. 2a edição. Coleção básica. Moderna, 2004.