RPM 59 - Cartas do leitor

Escreve-nos a colega Fátima Maria H. S. Pereira da Silva, de Ribeirão Preto, SP, comentando a frase do artigo Fractais no ensino médio (RPM 57, p. 1), de autoria de Élvia M. Sallum: Seu nome se deve ao fato de que a dimensão de um fractal não é um número inteiro. Ela lembra que essa dimensão pode ser também um número inteiro e apresenta um exemplo de fractal no espaço, cuja dimensão é o número inteiro 2. Trata-se do Tetraedro de Sierpinski. Em sua carta, ela escreve:

Sua construção se inicia com um tetraedro, ou seja, uma pirâmide de base triangular, de volume igual a V. Usando a mesma terminologia descrita pela colega Élvia, podemos tomar uma redução do fractal de 1/4 e reunindo, adequadamente, 16 cópias dessa redução, obtemos o fractal original. Assim, podemos afirmar que a massa M(1/4) dessa redução corresponde a 1/16

da massa M(V) da figura que originou o fractal, isto é,

e . Daí: . Portanto, d = 2. O que é equivalente a dizer que d = log 16/ log 4 = 2.

RPM

Agradecemos a pertinente observação da colega, que envia as fotos a seguir, dentre outras, que se encontram no endereço:

http://www.public.asu.edu/~starlite/sierpinskitetrahedron.html,

Um fractal de dimensão inteira

Escreve-nos o colega Adalberto A. Dornelles Filho, de Caxias do Sul, RS, sobre o item Você sabia? da seção O leitor pergunta (RPM 57, p. 58). Naquela ocasião, a Revista respondeu a uma questão proposta pelo colega Gilder da Silva Mesquita (RPM 48, p. 49) sobre uma tabela de 6 colunas e 6 linhas preenchidas com os números de 1 a 36. O missivista observa que a situação se repete ainda que se considere uma matriz quadrada de ordem n qualquer:

1 + 0.n	2 + 0.n	...	(n - 1) + 0.n	n + 0.n
1 + 1.n	2 + 1.n	...	(n - 1) + 1.n	n + 1.n
...	...	...	...	...
1 + (n - 2)n	2 + (n - 2)n	...	(n - 1) + ( n - 2)n	n + ( n - 2)n
1 + (n - 1)n	2 + (n - 1)n	...	(n - 1) + ( n - 1)n	n + ( n - 1)n

E calcula o que ele chama de M(n), o "número mágico" para um tal quadro, resultado da soma de n quaisquer dos números, escolhidos um e apenas um de cada linha e de cada coluna. Por exemplo, somando-se os elementos da diagonal principal:

RPM

Curiosidades desse tipo servem ao professor das séries iniciais para montar questões em que os alunos façam muitas operações de modo interessante, movidos pela curiosidade. Nas séries mais avançadas, elas propiciam oportunidades para o estudante procurar provas ou contra-exemplos ou, mesmo, descubrir outras situações em que se possa prever a soma.

Um chamado aos leitores

O Comitê Editorial tem muito interesse em que a RPM ajude o professor em suas atividades didáticas. Buscando melhor cumprir esse objetivo, a Seção de Cartas solicita ao leitor que está em sala de aula que escreva, sempre que possível, destacando os artigos que gosta de ler, aqueles que servem para aumentar sua cultura matemática, aqueles que lhe esclareceram alguma dúvida, aqueles que lhe deram alguma idéia para levar a seus alunos. Tais informações vão ajudar o Comitê na sua tarefa de produzir uma revista mais útil e agradável ao professor.

"Eu sou o Papa!"

O leitor Maurílio Machi escreveu para a RPM:

"Lendo a RPM 58, p. 61, deparei com o texto Eu sou o Papa!. A referência quanto ao autor desse paradoxo (?) explicita o matemático G. H. Hardy (1877-1947). Uma outra referência: o livro de Dimas Monteiro de Barros, Enigmas, desafios, paradoxos e outros divertimentos lógicos e matemáticos, Araçatuba, Nova Conquista Editora, 2003, p. 27, descreve o mesmo texto, sendo de autoria de Bertrand Russel (1872-1970). Também pelos conhecimentos que conquistamos durante a vida, sempre tive como autor Bertrand Russel. E agora?"

A RPM responde

Quem foi o autor da "tirada": Se 2+2= 5, então eu sou o Papa?

Inicialmente, não se trata de um paradoxo, e sim de um raciocínio perfeito, apenas colocado em termos humorísticos.

O tema pertence ao folclore matemático. Se você for procurar em diversas fontes (por exemplo, na Internet), vai encontrar o tema em versões diferentes, e atribuídas, ora a Russell, ora a Whitehead, ora a Hardy. Para ver como ninguém tem certeza da origem exata da história, pode-se consultar o site "Canonical List of Mathematical Jokes":

http://users.characterlink.net/The-Cookie-Jar/math_jokes_03.html,

onde se lê:

"Não tenho certeza se a história que segue é verdadeira: O grande lógico Bertrand Russell (ou terá sido A.N. Whitehead?) declarou certa vez que poderia demonstrar qualquer coisa, uma vez aceito que 1+1=1. Então, um dia um gaiato o desafiou: "Muito bem. Demonstre que você é o Papa". Ele pensou por um instante e enunciou: "Eu sou um. O Papa é um. Então, o Papa e eu somos um".

O que segue é de responsabilidade de Merritt
(merritt@Gendev.slc.paramax.com):

"Eu acredito que esta história foi, originalmente, o produto de uma conversa na Alta Mesa do Trinity [College, em Cambridge, Reino Unido], registrada em Scientific Inference, de Sir Harold Jeffreys, em uma nota do capítulo 1 [...]. Segundo Jeffreys, foi McTaggart que lançou no ar o desafio:

"Se 2 + 2 = 5, como se pode provar que eu sou o Papa?". Supostamente, Hardy respondeu: "If 2 + 2 = 5, 4 = 5; subtraindo 3, então 1 = 2; mas McTaggart e o Papa são dois; então McTaggart e o Papa são um." [...] Como McTaggart, Hardy, Whitehead, e Russell [...] eram todos fellows de Trinity, e Jeffreys (exato contemporâneo deles) era um fellow do St. Johns [College], eu suspeito que, se a história de Jeffreys for verdadeira, é muito improvável que Whitehead ou Russell tenham alguma coisa a ver com ela. O que há de extraordinário para mim nesta história é o fato de que Hardy tenha concebido de improviso este argumento, e ele nem era um lógico. Esta é provavelmente a razão pela qual ocorreu a alguns atribuir a história a um dos dois famosos lógicos de Trinity."

Esclarecimentos: McTaggart era um filósofo hegeliano, muito amigo de Bertrand Russell. Russell (1872-1970) foi uma das maiores inteligências do século XX: filósofo, matemático, prêmio Nobel de Literatura (!) e ativista político.

Respostas dos ...probleminhas

1. 2.
2. 40 km.
3. 25 anos.