Um leitor do Ceará pediu a solução do seguinte problema:

O triângulo ABC tem área 10. Os pontos D, E, F, todos distintos, pertencem aos lados AB, BC e AC, respectivamente. Se AD = 2 e DB = 3, sabe-se que o triângulo ABE e o quadrilátero DBEF têm áreas iguais. Determine a área do triângulo ABE.

RPM

Olhando para a figura, vê-se que

área do DEF = área do quadrilátero DBEF - área do DBE =

área do ABE - área do DBE = área do ADE.

Como os triângulos DEF e ADE têm DE como lado comum e mesma área, suas alturas em relação a esse lado devem ter o mesmo comprimento, isto é, DE é paralelo a AF, ou seja, DE // AC. Então, os triângulos DBE e ABC são semelhantes, com razão de semelhança Segue que área do DBE = e, portanto, sua altura em relação ao lado DB é . Então, área do ABE =

Vestibular

Um leitor do Paraná pediu a solução do seguinte problema:

Uma prova de vestibular foi elaborada com 25 questões de múltipla escolha com 5 alternativas. O número de candidatos presentes à prova foi 63127. Considere a afirmação: Pelo menos 2 candidatos responderam de modo idêntico às k primeiras questões da prova. Calcule o maior valor de k para o qual podemos garantir que a afirmação é verdadeira.

RPM

O número de maneiras distintas de responder à primeira questão é 5, já que há 5 alternativas.

O número de maneiras distintas de responder às duas primeiras questões é 5 x 5 = 25.

O número de maneiras distintas de responder às k primeiras questões é 5^k.

Para termos certeza de que pelo menos dois dos 63127 candidatos responderam de modo idêntico às k primeiras questões da prova, devemos ter 63127 > 5^k.

Observando que 5⁶ = 15625 e 5⁷ = 78125, o maior valor de k que satisfaz a desigualdade acima é 6.

Chute educado

Um leitor do Rio Grande do Sul contou a seguinte história:

Professor Márcio é meu dileto amigo. Certo dia perguntou-me se queria comprar uma impressora para conectar ao meu computador. Não precisa se preocupar com o preço. Vai lhe custar um pouco mais de R$700,00. Quanto à forma de pagamento, você pagará por mês o que quiser. Não haverá juros.

Aceitei a proposta mesmo sem saber o valor exato da compra.

De imediato, entregou-me a impressora e, sem hesitar, dei por conta R$ 99,00.

No mês seguinte entreguei ao Professor Márcio mais uma prestação de R$ 180,00. A dívida restante continuou a ser expressa pelos mesmos algarismos, apenas permutados.

Fiquei intrigado. Como se explica esse mistério e como será feito o cálculo da minha dívida?

RPM

Se de "700 e pouco" subtrairmos 99, obteremos "600 e pouco" .

Se de "600 e pouco" subtrairmos 180, obteremos "400 e pouco".

Portanto, um chute educado é que os algarismos são: 7, 6 e 4.

De fato, 746 99 = 647 e 647 180 = 467.

Algumas contas mostram que não há outra solução.

Uma excessão

O leitor pergunta tem por objetivo ajudar o professor nas suas atividades do dia-a-dia, esclarecendo dúvidas ocasionais e resolvendo um ou outro problema que tenha causado dificuldade ao professor. Mas, em geral, não manda soluções de problemas de uma lista, nem tenta ensinar a matemática de cursos superiores.

Eis uma exceção: Uma leitora do Rio de Janeiro enviou uma lista de exercícios e pediu as soluções. Entre os problemas estava:

Mostre que existem infinitos primos da forma 6k + 5.

RPM

A demonstração é parecida com a usada por Euclides para provar que há infinitos números primos:

Suponha (por absurdo) que existe apenas um número finito de primos da forma 6k + 5. Sejam eles p₁, p₂, ..., p_n e considere o número

.

Seja q um número primo, divisor de N. Por ser primo, q = 6k + 1 ou 6k + 5, pois 6k, 6k + 2, 6k + 3 e 6k + 4 não são primos.

Observando que (6j +1) . (6k +1) = 6m +1 (isto é, o produto de dois números do tipo 6k + 1 é um número do mesmo tipo), vê-se que N tem que ter um divisor primo do tipo 6k + 5, ou seja, um dos p₁, p₂, ..., p_n tem que dividir N. Olhando para   N = 6 . p₁ . p₂ . . . p_n. 1,   vê-se que isso é absurdo. Logo, a hipótese inicial está errada e existem infinitos primos do tipo 6k + 5.