242. Prove que um pentágono com os cinco lados congruentes e três ângulos congruentes é regular.

243. Numa urna há m bolas brancas e n bolas pretas, m + n > 2. Fora da urna há uma pilha suficientemente grande de bolas pretas. Tiramos duas bolas da urna e

i) se as duas bolas forem pretas, colocamos uma de volta na urna e descartamos a outra;
ii) se uma for branca e a outra preta, colocamos a branca de volta na urna e descartamos a preta;
iii) se as duas bolas forem brancas, ambas são descartadas e colocamos na urna uma das bolas pretas da pilha.

Executamos essas operações até que reste somente uma bola na urna. Discuta em função de m e n a cor dessa bola remanescente.

244. Em cada uma das regiões planas a seguir descrever, justificando, o lugar geométrico dos pontos do plano cuja menor distância ao bordo da região é atingida em pelo menos dois pontos distintos do bordo.

245. Cem "pesos" diferentes, de massas 1, 2, 3, ..., 99, 100, estão distribuídos nos pratos de uma balança de modo que eles ficam equilibrados. Mostre que, qualquer que seja a distribuição dos pesos, é possível retirar dois pesos de cada prato de modo que a balança continue em equilíbrio.

(Enviado por Antonio Luiz Pereira, SP.)

...probleminhas

1. André escreveu um número inteiro em cada círculo e depois, em cada quadrado, escreveu o resultado da multiplicação dos números que estavam nos dois círculos vizinhos. Coloque na figura os números que foram apagados.

(Tirado da II Olimpíada Paraense de Matemática.)

2. O Bernando e o seu irmão Artur receberam no Natal um quebra-cabeça com 2005 peças. Nesse mesmo dia, decidiram começar a construí-lo. O Bernardo desafiou o seu irmão: "Vamos fazer um jogo. Você começa por colocar uma, duas, três ou quatro peças do quebra-cabeça. Em seguida, coloco eu uma, duas, três ou quatro peças, e assim sucessivamente. Quem colocar a última peça perde". Entusiasmados, preparavam-se para começar a jogar, quando, de repente, um deles exclamou: " Jogue você como jogar, eu vou conseguir ganhar!". Sabendo que ele tinha razão, qual deles disse isso e que estratégia planejou?

(Tirado do Jornal de Matemática Elementar, Lisboa, Janeiro 2005.)

3. Dado um número natural, N, multiplique todos os seus algarismos. Repita o processo com o número obtido até obter um número com um só algarismo. Esse algarismo chama-se fóssil de N. Por exemplo, o fóssil de 327 é 8. Encontre o maior número natural com os algarismos todos diferentes cujo fóssil é ímpar.

(Tirado do Jornal de Matemática Elementar, Lisboa, Janeiro 2005.)

Soluções dos problemas propostos na RPM 56

234. Considere um quadrado Q e um triângulo T, ambos circunscritos a um mesmo círculo. Prove que mais da metade do perímetro do quadrado está dentro ou sobre os lados do triângulo.

Solução

Na figura abaixo, três dos vértices do quadrado estão dentro do triângulo, mas os argumentos que seguem também se aplicam, com pequenas modificações, aos casos em que um ou mais vértices do quadrado estão sobre os lados do triângulo.

O centro da circunferência é O e os pontos M, N, P, Q, T₁, T₂ e T₃ são os pontos de tangência.

O perímetro de ABCD é igual a 8r e queremos provar que

UV + RC + CS + XY > 4r.

Usando potência dos pontos U, V, R, C, S, X e Y, em relação à circunferência obtemos:

UM = UT₃ = y; MV = VT₁ = x; T₁ R = RN = w; CN = CP = r; SP = S; T₂ = u; X T₂ = XQ = t e QY = YT₃ = z.

Analisando o triângulo AYU, obtemos z + y = YU > AU e, como AU + y = r, segue z + 2y > r.

Analogamente, podemos mostrar:

y + 2z > r , x + 2w > r, 2x + w > r, u + 2t > r e 2u + t > r.

Assim,

3(x + y + z + t + u + v + w) > 6r ou x + y + z + t + u + v + w > 2r, o que implica x + y + z + t + u + v + w + 2r > 4r, e, como

x + y = UV, w + r = RC, r + u = CS e t + z = XY,

segue o que queríamos demonstrar.

(Solução enviada por Milton D. Maciel, SP.)

235. Na figura, que representa uma foto, r é a linha do horizonte e vemos dois trilhos paralelos e dois dormentes, a e a' , já colocados. Construa, na foto, o dormente seguinte na direção do horizonte. Usar que dormentes são paralelos e a distância entre dois consecutivos é sempre a mesma.

Solução

A foto nos fornece uma figura em perspectiva. Assim, retas paralelas, não paralelas à linha do horizonte, convergirão para algum ponto ("ponto de fuga") sobre a linha do horizonte.

Como os dormentes são paralelos, suas direções irão convergir para o ponto de fuga M, sobre a linha do horizonte r. Por outro lado, cada dois dormentes consecutivos formam, com os trilhos, retângulos congruentes, cujas diagonais (m e n) serão paralelas (ver a figura anterior). Logo, as direções dessas diagonais convergirão para um ponto de fuga (P). Assim, basta desenhar m, determinar P em r e ligar P a C, determinando A. Ligando A a M, encontramos B. AB é o dormente pedido.

236. Achar todos os números m e n naturais que resolvam

Solução

Dois naturais m e n resolvem n2^n-1 + 1 = m² se e só se m = 2k + 1 e n2^n-3 = k(k + 1) (*) para algum natural k.

É  fácil  verificar  diretamente  que,  para   0 < n < 6,  as únicas  soluções   do  problema  são (n, m) = (0, 1) e (n, m) = (5, 9).

Mostremos que, para n > 7, não existe solução.

De fato, observe em (*) que 2^n-3 divide k ou k + 1.

Se 2^n-3 divide k + 1, então k divide n e

.

Se 2^n-3 divide k, então k + 1 divide n e

Porém, é fácil ver, por indução, que n + 1 < 2^n-3 para n > 7.

(Solução adaptada da enviada por João Fernandes de Moura, RJ.)

237. Em cada extração da Mega Sena são sorteados de forma equiprovável 6 números, entre os números 01 e 60. Qual a probabilidade de numa extração saírem pelo menos dois números consecutivos?

Solução

Uma extração da Mega Sena consiste no sorteio, de forma equiprovável, de seis números naturais N₁, N₂, ..., N₆, satisfazendo

1 < N₁ < N₂ < ... < N₆ < 60.

Há uma correspondência biunívoca entre extrações e 7-uplas ordenadas (x₁, ..., x₇) em que

x₁ é o número de números maiores ou iguais a 1 e estritamente menores que N₁ (x₁ pode ser igual a zero);

x₂ é o número de números estritamente entre N₁ e N₂ (x₂ pode ser igual a zero);

e assim por diante.

Vale a igualdade x₁ + x₂ + ... + x₇ = 60 - 6 = 54.

Uma extração não possui números consecutivos se e somente se

Denotando y₁ = x₁, y₂ = x₂-1, ..., y₆ = x₆ - 1, y₇ = x₇, obtemos uma bijeção entre as extrações sem números consecutivos e as soluções naturais ordenadas da equação y₁ + y₂ + ... + y₇ = 54 - 5 = 49.

O número dessas soluções é igual ao número de todas as permutações de 49 símbolos "1" e 6 símbolos separadores "/", que é igual a .

Sendo o número total de possíves extrações da Mega Sena igual C_60,6, temos que a probabilidade, p, pedida é igual a

p =