José Cloves Verde Saraiva

Na RPM 42, p.10, há uma observação aritmética feita por Galileu (1594-1642) quando ele trabalhava no problema da quebra livre dos corpos. Galileu observou:

E pergunta-se: É possível construir outras seqüências com propriedades análogas a essa encontrada por Galileu?

O objetivo principal destas notas é apresentar outras sequências desse tipo.

Seqüência de Galileu

Dizemos que a seqüência de números inteiros positivos a₀ = 1, a₁, a₂, ..., a_k-1, a_k, ..., a_2k-1, ... é uma seqüência de Galileu de razão se vale a seguinte propriedade:

Admitindo que a seqüência dos números ímpares 1, 3, 5, ..., 2k + 1, ... é uma sequência de Galileu, como afirmado acima, seria uma sequência de razão 1/3.

Antes de provar que a seqüência dos ímpares é, de fato, uma seqüência de Galileu, trataremos da interpretação geométrica das suas somas parciais como quadrados perfeitos. Propriedade essa já conhecida dos pitagóricos.

As figuras sugerem e é fácil ver, usando a fórmula da soma de n termos de uma progressão aritmética, que

1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n², n N.

Por outro lado, construindo as seqüências dos numeradores e denominadores das frações, podemos ter uma visão geométrica da razão constante 1/3.

         Numeradores                                 Denominadores

Portanto notamos, geometricamente, que vale:

A prova algébrica é muito fácil e para isso escrevemos as igualdades:

Sabendo que 1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = k² e sendo

D = (2k + 1) + ... + (4k - 1), temos

1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + D = 1 + 3 + 5 + ... + (4k - 1) = (2k)²,

ou melhor,

k² + D = (2k)² k² + D = 4k² D = 3k²,

comprovando que, para todo k N, vale

concluindo a prova de que os números ímpares formam uma sequência de Galileu de razão 1/3.

Construindo seqüências de Galileu

Sabendo que a seqüência dos números ímpares tem por somas parciais um quadrado perfeito, é natural investigar, primeiramente, a sequência que tem por somas parciais um cubo perfeito, e daí as outras.

Usando a mesma interpretação geométrica espacial, temos:

a₀ = 1               a₁ = 7                       a₂ = 19           ....             a_k = 3k² + 3k + 1  

Vamos provar que essa é realmente uma seqüência de Galileu de razão 1/7, verificando que valem as igualdades abaixo para todo k.

NUMERADORES                                 DENOMINADORES        

1		7
1 + 7		19 + 37
1 + 7 + 10		3 + 61 + 19

Um simples cálculo algébrico mostra que

N = 1 + 7 + 19 + ... + (3(k - 1)² + 3(k - 1) + 1) = k³
1 + 7 + 19 + ... + (3(k - 1)² + 3(k - 1) + 1) + D = 1 + 7 + 19 + ... +
(3(k - 1)² + (3(k - 1) + 1) + (3k² + 3k + 1) + ... +
3(k - 1)² + 3(2k - 1) + 1) = (2k)³ = 8k³.

Portanto,

k³ + D = 8k³ D = 8k³ - k³ = 7k³

e, assim, podemos verificar que , concluindo a prova de que a seqüência cujas somas parciais são cubos perfeitos forma uma seqüência de Galileu de razão 1/7.

Conclusão

As seqüências de Galileu acima estudadas podem ser dadas por:

a_k = 2k + 1, ou melhor, a_k = (k + 1)² - k², com razão .

b_k = 3k² + 3k + 1, ou melhor, b_k = (k + 1)³ - k³, com razão .

É simples ver que para todo número natural n, com n > 3, a seqüência de termos c_k = (k + 1)ⁿ - kⁿ é, seqüências de Galileu cuja razão é 1/(2ⁿ - 1). Deixamos a prova para leitor.

Fica a questão de saber se as seqüências exibidas são todas as seqüências de Galileu (embora, para todo número real , as seqüências (_k) sejam consideradas de Galileu).