Guilhermo Zamalloa Torres

Introdução

No estudo dos critérios de divisibilidade são dadas regras que permitem verificar se um número é divisível por 2, 3, 5, 9 e 11, considerados os critérios mais simples, deixando-se de lado o estudo da divisibilidade por 7, 13, 17 e por outros números primos. Nosso objetivo é apresentar uma regra geral que permita estabelecer critérios de divisibilidade para a divisão por qualquer número primo, excetuando-se apenas o 2 e o 5, que, por sinal, obedecem a regras bastante simples.

Divisibilidade por 7

Inicialmente, apresentamos um exemplo numérico para verificar se um número é ou não é divisível por 7.

Seja o número 59 325. Separamos o dígito das unidades, 5. Do restante do número, 5932, tiramos o dobro do dígito separado (2 x 5). Do resto, separamos novamente o dígito das unidades e procedemos como se mostra a seguir:

59325 x 2 5922 x 2 588 x 2

5932 10 = 5922 592 4 = 588 58 16 = 42

Como o último resto, 42, é divisível por 7, concluímos que 59 325 é divisível por 7.

Seja agora o número 35 487.

35487 x 2 3534 x 2 345 x 2

3548 14 = 3534 353 8 = 345 34 10 = 24

Como 24 não é divisível por 7, concluímos que 35 487 não é divisível por 7.

Justificativa

Representemos um número qualquer na forma N = 10k + u. No procedimento descrito, em cada passagem, substituímos 10k + u por k 2u.

Provaremos que 10k + u será divisível por 7 se e somente se k 2u for divisível por 7.

i) Se 7 divide 10k + u, então 10k + u = 7q ou u = 7q 10k. Substituindo esse valor de u em k - 2 u, temos:

k 2u = k 2(7q 10k) = k 14q + 20k = 21k 14q = 7(3k 2q).

Portanto, k 2u é divisível por 7.

ii) Se 7 divide k 2u, então k 2u = 7q, ou k = 7q + 2u. Substituindo esse valor  de   k em 10k + u, temos:

10k + u = 10(7q + 2u) + u = 70q + 20u + u = 70q + 21u = 7(10q + 3u).

Portanto, 10k + u é divisível por 7.

Divisibilidade por 13

N = 10k + u é divisível por 13 se e somente se k 9u for divisível por 13.

Exemplos

Verificar se 8 281 e 30 204 são divisíveis por 13.

8281 x 9
828 9 = 819
819 x 9
81 81 = 0

0 é divisível por 13; logo, 8 281 é divisível por 13.

30204 x 9 3020 36 = 2984
2984 x 9 298 - 36 = 262
262 x 9 26 18 = 8

8 não é divisível por 13; logo, 30 204 não é divisível por 13.

Divisibilidade por 17

N = 10k + u é divisível por 17 se e somente se k 5u for divisível por 17.

Exemplo

Verificar se 235 873 é divisível por 17.

235873 x 5 23587 15 = 23572

3572 x 5 2357 10 = 2347

2347 x 5 234 35 = 199

199 x 5 19 45 = - 26

26 não é divisível por 17; então, 235 873 não é divisível por 17.

Divisibilidade por 19, 23, 29, 31

N = 10k + u é divisível por 19 se e somente se 19 | (k 17u)

N = 10k + u é divisível por 23 se e somente se 23 | (k 16u)

N = 10k + u é divisível por 29 se e somente se 29 | (k 26u)

N = 10k + u é divisível por 31 se e somente se 31 | (k 3u)

N = 10k + u é divisível por 37 se e somente se 37 | (k 11u)

N = 10k + u é divisível por 41 se e somente se 41 | (k 4u)

Observamos que para estabelecer um critério de divisibilidade de N = 10k + u por um número, d, subtraímos de k o algarismo das unidades, u, multiplicado por um determinado fator a. Vamos mostrar agora como encontrar um valor de a adequado para cada d.

Determinação do fator a

Supondo que N = 10k + u seja divisível por d, vamos determinar a para que k au também seja divisível por d.

d | (10k + u) 10k + u = dq u = dq 10k e, portanto,

k au = k a(dq 10k) = k adq + 10ak = (10a +1)k aqd.

Para que k au seja divisível por d, basta escolher um inteiro a tal que 10a + 1 seja divisível por d, isto é, 10a + 1 = dx, ou a = (dx 1)/10.

Mas a deve ser um número inteiro positivo, portanto o produto   dx  tem  que  ser  da  forma 10k + 1, pois só dessa maneira dx 1 será divisível por 10. Assim, por exemplo, para escolher o menor a para um critério de divisibilidade por 43, o número   43  deve  ser  multiplicado  por x = 7 para dar um produto terminado em 1: a = (43 x 7 - 1)/10 = (301 1)/10 = 30, isto é, obtemos o número 30, que é o fator a procurado.

Sabemos que os divisores primos em estudo só podem terminar em 1, 3, 7 ou 9 e, portanto, os menores fatores x que produzem produtos terminados em 1 são, respectivamente, 1, 7, 3 e 9. Isso facilita a obtenção de a, como veremos nos exemplos abaixo.

Falta mostrar que, tendo escolhido a tal que 10a + 1  é divisível  por   d,  então,  se   d   dividir k au, d dividirá N = 10k + u.

De fato,

d | (10a + 1) 10a + 1 = xd (1) e

d | (k - au) k au = yd (2).

Multiplicando a igualdade (1) por u, a igualdade (2) por 10 e somando os resultados, obtemos:

10au + u + 10k - 10au = xdu + 10yd, o que implica

10k + u = d(xu + 10y), isto é, d | (10k + u)

Vejamos os exemplos:

N = 10k + u é divisível por 47 se e somente se 47 | (k 14u)

a = (47 x 3 1)/10 = (141 1)/10 a = 14

N = 10k + u é divisível por 59 se e somente se 47 | (k 53u)

a = (59 x 9 1)/10 = (531 _ 1)/10 a = 53

Deixamos para o leitor a determinação de a para critérios de divisibilidade envolvendo outros números primos.

NR

Na RPM 12 foram publicados os critérios de divisibilidade aqui expostos, mas, dado o interesse que o tema desperta entre nossos leitores, resolvemos abordar novamente o assunto.

Cumpre observar que o interesse da maioria desses critérios está no fato de eles existirem e não na sua utilidade. Para verificar, por exemplo, se um número inteiro é divisível por 7, é mais simples efetuar a divisão e verificar se o resto é zero.

Mas, aparentemente, a divisibilidade por 7 exerce um certo fascínio sobre os colaboradores da RPM, e, assim, apresentamos sem justificativa (que deixamos para o leitor) mais um critério de divisibilidade por 7, este enviado por Gustavo Gerald Toja Frachia.

Para explicar a regra, consideremos o seguinte múltiplo de 7: 38391787.

Separemos seus dígitos em pares da direita para a esquerda:

38 39 17 87

Consideremos a diferença entre cada par de dígitos e o múltiplo de 7 mais próximo, maior para o último par, menor para o penúltimo e assim sucessivamente, alternando para cada novo par: 38 39 17 87.

87: primeiro múltiplo maior que 87 é 91, então fazemos 91 87 = 4.

17: primeiro múltiplo menor que 17 é 14, então fazemos 17 14 = 3.

39: primeiro múltiplo maior que 39 é 42, então fazemos 42 39 = 3.

38: primeiro múltiplo menor que 38 é 35, então fazemos 38 35 = 3.

Os dígitos resultantes, lidos de cima para baixo, formam o número 4333 (que também é múltiplo de 7).

Repetindo o processo para o número resultante 4333, temos:

35 33 = 2.

43 42 = 1.

O resultado final, lido de cima para baixo, é 21, que é múltiplo de 7. Portanto, o número original, 38391787, é múltiplo de 7.

Outro exemplo

Para observarmos a rapidez do método, suponhamos agora um número de 15 dígitos, 531 898 839 909 822, que também é múltiplo de 7.

O número resultante é 60143545:

De 4004, obtemos o número 35, que é um múltiplo de 7.

Em três passos, determinamos que o número é múltiplo de 7.

Casualmente, poderíamos ter sabido que o número de 15 dígitos era múltiplo de 7 analisando apenas o primeiro resultado, 60143545, pois o miolo (1435) é claramente um múltiplo de 7 e a soma dos pares extremos (60 + 45 = 105) também é.