Cara (sic) ... por favor ... qual a solução desse problema:

Três pessoas entraram na caverna e sem ver a cor dos chapéus escolheram um, aleatoriamente.

Essas três pessoas saíram em fila indiana, de forma que a de trás visse os 2 chapéus a sua frente, a segunda podia ver o chapéu da primeira que por sua vez não podia ver nenhum chapéu.

Pergunta-se ao último da fila sobre a cor de seu chapéu e ele responde que não sabe.

Pergunta-se ao do meio e ele também não sabe.

Finalmente pergunta-se ao primeiro, que após ouvir as respostas de seus colegas diz a cor do chapéu que veste!

Você saberia dizer que cor é essa?

RPM

Imagine a fila indiana da esquerda para a direita: X _ Y _ Z e os chapéus: B, B, P, P, P.

1) X é o último da fila. Ele diz "não sei" .

Isso significa que ele não viu BB na sua frente (se tivesse visto, teria

dito "o meu é P").

Portanto X viu na frente BP ou PB ou PP.

2) Y também disse "não sei".

3) Z pensou:

Se o meu fosse B, Y saberia que o dele é P (já que a possibilidade BB estava eliminada); mas Y disse "não sei"; portanto o meu é P.

Sempre divisível por 12

Um leitor do Ceará pede a solução de um problema apresentado na UFC (Universidade Federal do Ceará).

Prove que (b a)(c a)(d a)(c b)(d b)(d c) é divisível por 12, quaisquer que sejam os inteiros a, b, c, d.

RPM

Seja n = (b a)(c a)(d a)(c b)(d b)(d c).

Façamos: .

Então,

.

Com essas mudanças temos: .

1) n é divisível por 4, pois

se dois dos números x, y ou z forem pares, 4 | n;

se somente um deles for par, os outros dois serão ímpares e a diferença desses dois ímpares será par. Novamente 2 x 2 = 4/n;

se nenhum for par, as três diferenças entre parênteses serão pares e 4/n.

2) n é divisível por 3, pois

se um dos números x, y ou z for divisível por 3, 3 | n;

se nenhum deles for divisível por 3, eles serão do tipo 3k + 1 ou 3k + 2. Pelo menos dois deles serão do mesmo tipo (princípio da casa dos pombos). A diferença destes será divisível por 3.

Novamente, 3 | n.

Olhando para 1) e 2), vemos que 12 | n.

Vamos nos encontrar

Um leitor do Rio de Janeiro pediu a solução do seguinte problema:

A e B decidem encontrar-se entre 15 e 16 horas, mas cada um não esperaria mais do que 10 minutos pelo outro. Determinar a probabilidade de eles se encontrarem.

RPM

Vamos supor que o encontro deva ser entre 0 h e 1 h e usar minutos como unidade. Vamos supor ainda que A chegue no instante x_A, 0 < x_A < 60, e B chegue no instante y_B, 0 < y_B < 60.

Os  possíveis  valores  do  par  (x_A, y_B)  correspondem   aos  pontos  do  quadrado Q = {(x, y) R² | 0 < x, y < 60} no plano cartesiano. O intervalo de tempo no qual A estará presente no ponto de encontro é o intervalo

I_A = {x [0, 60] | x_A < x < x_A + 10} = {x [0, 60] | x = x_A + t, 0 < t < 10}

e, similarmente para B,

I_B = {y [0, 60] | y_B < y < y_B + 10}={y [0, 60] | y = y_B + s, 0 < s < 10}.

A condição para que A e B se encontrem é que os intervalos I_A e I_B tenham interseção não vazia, ou seja, x_A + t = y_B + s, 0 < t, s < 10.

Uma outra maneira de dizer isso é que o quadrado com vértice inferior esquerdo (x_A, y_B), lados paralelos aos eixos e comprimento 10, deve intersectar a diagonal do quadrado Q.

A condição no par (x_A, y_B) para que o encontro ocorra é -10 < x_A - y_B < 10 e o conjunto de tais pares, no gráfico, é uma "faixa" em torno da diagonal do quadrado Q.

A "faixa" é a reunião dos dois trapézios sombreados na figura.

A área dessa região sombreada é a área do quadrado menos a área de dois triângulos retângulos de catetos iguais a 50, isto é,

Como a área de Q é 3600, a probabilidade procurada é .

Nota

Um problema análogo ao anterior encontra-se na RPM 20, p. 20.

Exemplo prático?

Escreve um leitor da Bahia: Em lógica, os valores lógicos do condicional simples () são citados nos livros sem uma justificativa, nem mesmo por um exemplo prático, o que desagrada os alunos. Que exemplos práticos poderiam ser dados para justificar a regra?

RPM

Examine a sentença:

"Se chover às 10 horas, a calçada ainda estará molhada às 11 horas."

Essa sentença só vai ser falsa (pelo senso comum) se chover às 10 horas e a calçada estiver seca às 11 horas.

Chamando p: "chove às 10 horas" e

                 q: "a calçada está molhada às 11 horas",

diz, então, o senso comum que ela somente será falsa se a situação p ~ q for verdadeira, ou seja, ela será verdadeira se a negação de p ~ q for verdadeira.

Examinemos a tabela verdade de p ~ q e sua negação:

Por isso parece "razoável" fazer a tabela verdade de p q igual à tabela de ~ ( p ~ q).

Claro que frases do tipo "Se Roma é capital da França então 3 + 3 = 20" são muito estranhas do ponto de vista do senso comum, mas são verdadeiras de acordo com a tabela verdade.

Um outro exemplo interessante é dado pelo episódio descrito abaixo.

"Eu sou o Papa!"

O matemático G. H. Hardy (1877-1947) explicava a seus alunos que, se você admitir uma proposição falsa, então você pode, a partir dela, provar qualquer coisa. Um aluno incrédulo o desafiou: "Então prove que se dois e dois são cinco, então eu sou o Papa!".

Hardy não se abalou: "Pois não: de 2 + 2 = 5, ou seja, 4 = 5, subtraindo 3 de ambos os membros, conclui-se que 1 = 2. Agora, você e o Papa são duas pessoas, mas como 1 = 2, então você e o Papa são um só."

Hardy, especialista em Teoria dos Números, foi o maior matemático inglês de seu tempo. Extremamente tímido, era fanático por cricket. Muito conhecido é seu livro Apologia de um Matemático.