Trata-se de um livro escrito especialmente para professores e alunos dos cursos de licenciatura, mas que será também de grande utilidade para os professores do ensino médio. O texto é uma fonte preciosa de fatos matemáticos, contendo um relato claro do desenvolvimento histórico das muitas idéias por trás desses fatos.

Não é necessário falar muito sobre a parte matemática do livro porque Geraldo Ávila é um matemático brasileiro conhecido, autor de vários livros especializados e de trabalhos de pesquisa. Neste seu livro são abordados com rigor apropriado os principais temas de um primeiro curso de Análise Matemática: números reais; seqüências e séries infinitas; funções, limite, continuidade; derivada e diferencial; integral de Riemann; seqüências e séries de funções. Há muitos exercícios com sugestões e soluções.

Um dos aspectos que diferencia este livro dos demais livros de Análise é a atenção dada não apenas aos fatos matemáticos, mas também às idéias que motivaram as definições e os teoremas, bem como a evolução dessas idéias com o tempo. Outro aspecto importante é a inclusão de tópicos de grande interesse na formação de professores, como os preliminares de Lógica do primeiro capítulo e o tratamento dado aos números reais, aos conjuntos e às grandezas incomensuráveis nos capítulos 2 e 3. Um terceiro aspecto a ressaltar é o tratamento mais ameno dado aos tópicos da Análise, em comparação com o tratamento que se costuma dar nos cursos direcionados ao bacharelado. Exemplo típico disso é o tratamento dado à Integral de Riemann no capítulo 8, mais simples que o que costuma ser dado nos cursos de bacharelado.

Uma parte histórica, de leitura muito agradável, acompanha cada um dos nove capítulos do livro, mantendo-se pertinente aos temas neles desenvolvidos. Por exemplo, no fim do capítulo sobre séries infinitas, no item "Notas históricas e complementares", há comentários intitulados

A origem das séries infinitas.
A divergência da série harmônica.
Nicole Oresme e a série de Suiseth.
Cauchy e as séries infintas.

Não é apenas nas "notas" que se encontra a parte histórica das idéias. Ao longo do livro, histórias permeiam e amenizam a usual seqüência didática: definição, exemplos, teoremas, exercícios.

Um outro destaque é o dom que o autor tem de transmitir numa linguagem muito acessível (e, no exemplo a seguir, até divertida) fatos nada triviais da Matemática. Assim, escreve:

"...devemos lembrar que um sistema axiomático deve satisfazer às três condições seguintes: ser consistente, quer dizer, os postulados não podem contradizer uns aos outros por si mesmos ou por suas conseqüências; deve ser completo, no sentido de serem suficientes para provar verdadeiras ou falsas todas as proposições formuladas no contexto da teoria em questão e por fim .... Pois bem, Gödel prova, dentre outras coisas ... o teorema da incompletude: se uma teoria formal abrangendo a Aritmética for consistente, ela necessariamente será incompleta, o que significa dizer que haverá alguma proposição sobre inteiros que a teoria será incapaz de decidir ser verdadeira ou falsa."

e continua:

"Hermann Weyl, que está entre os maiores matemáticos do século XX, disse espirituosamente: Deus existe porque certamente a Matemática é consistente; e o demônio existe porque somos incapazes de provar essa consistência."

Professores já formados encontrarão no livro, além da parte histórica, vários temas abordados no ensino médio, como, por exemplo, preliminares de lógica, indução matemática, números racionais e representação decimal, divisão áurea, teoria das proporções e muitos outros.

Enfim, o livro é uma feliz junção de Análise Matemática com relatos sobre a história dos números reais.