Célia Barros Nunes
UNEB-BA

Uma descoberta exponencial interessante

O que vou expor é um relato de uma experiência em docência na 3^a série do ensino médio de uma escola particular de Itabuna, Bahia. O que será apresentado foi elaborado e criado pelo discente Valdemir Alves de Santana Júnior, com algumas expressões matemáticas por mim corrigidas.

O discente Valdemir, motivado pelo estudo das progressões aritméticas, PA, e geométricas, PG, chegou certo dia em sala de aula apresentando-me o que ele denominou Progressão Exponencial, PE. Ele determinou a expressão do termo geral, uma fórmula para obtenção da razão e do produto de termos de uma PE. Vejamos.

A progressão exponencial (PE)

Uma PE é uma seqüência com primeiro termo sendo um determinado número real (positivo), a₁, e os termos seguintes obtidos elevando-se cada termo anterior a um expoente-razão E.

Exemplo

PA com a₁ = 2 e r = 2: (2, 4, 6, 8, ...)

PE com a₁ = 2 e E = 2 : (2, 4, 16, 256, ...)

Fórmula do termo geral

Sendo o primeiro termo da PE igual a a₁, temos

Cálculo da razão de uma PE dados o primeiro e o último termos

Seja a PE (a₁, a₂, ..., a_n). Como , temos

Então, ou .

Produto dos n primeiros termos de uma PE

Na PE , observamos que os expoentes 1, E, E², E³, ..., E^n-1 formam uma PG de primeiro termo igual a 1 e razão igual a E.

Seja P = a₁ x a₂ x ... x a_n, = (a₁)(1 + E + E² + ... + E^n-1).

Da fórmula da soma dos termos de uma PG, temos que

para q 1. Então,

Considerações finais

Pode-se observar no desenvolvimento do trabalho produzido pelo aluno a aplicação de conceitos básicos de potência, logaritmo e manipulações algébricas. Essa experiência de construir conceitos e descobrir inter-relações entre conteúdos matemáticos é extremamente importante e necessária à aprendizagem, podendo estimular mentes mais curiosas a desvencilhar a beleza que se encontra oculta na Matemática.

O resultado aqui descoberto pode não ser "inédito" ou "surpreendente", mas convenhamos que o aluno mostrou ser capaz de fazer descobertas com uma simples explicação teórica do professor e o estímulo adequado. Além disso, percebe-se que esse aluno tem o hábito de estudar por conta própria, fato importante na vida do estudante, pois ninguém aprende em sala de aula ouvindo apenas a explicação do professor. Mesmo que se entenda tudo que ele explicou, faz-se necessário colocar em prática o que lhe foi ensinado: que o aluno "cultive" o que aprendeu, através de estudos disciplinados, caso contrário, tudo poderá cair no esquecimento.

É extremamente importante que nós, professores, valorizemos a coragem, a criatividade e a iniciativa dos nossos alunos que ousam desvencilhar a Matemática sem ter medo de errar, pois, afinal, o erro é o caminho para uma aprendizagem mais sólida.