Enviado por Carlos A. Gomes
Natal - RN

A conhecida fórmula de Heron

para o cálculo da medida da área, S, de um triângulo cujos lados medem a, b e c, com semiperímetro p = (a + b + c)/2, pode ser provada de diversas maneiras. O propósito deste pequeno artigo é exibir uma bela demonstração dessa fórmula, baseada em um trabalho intitulado Heron´s formula via proofs without words, de autoria de Roger B. Nelsen, publicada no The College Mathematics Journal, vol. 32, n^o 4, september 2001.

Apresentaremos uma demonstração, em parte, with words, isto é, com palavras e não totalmente without words (sem palavras), dando destaque aos resultados a serem usados.

A demonstração baseia-se nos resultados seguintes.

1. As três bissetrizes internas de um triângulo encontram-se em um mesmo ponto, O, que é centro da circunferência inscrita nesse triângulo.

Justificativa: Se considerarmos dois lados de um triângulo, os pontos eqüidistantes desses dois lados estão na bissetriz do ângulo que eles formam. O centro O da circunferência inscrita no triângulo é eqüidistante dos três lados e, portanto, é a interseção das três bissetrizes.

2. AB' = AC' , BA' = BC' e CA' = CB'.

Justificativa: Os triângulos retângulos AOB' e AOC' são congruentes pois têm a mesma hipotenusa AO e catetos medindo r. Portanto, AB' = AC'. As outras igualdades são obtidas de modo análogo.

Segue que o semiperímetro, p, do ABC satisfaz as seguintes relações:

p = x + y + z = x + a = y + b = z + c.

3. Se r é o raio da circunferência inscrita num triângulo de semiperímetro p, a área desse triângulo é S = p x r.

Justificativa: a figura anterior mostra que as áreas S dos triângulos indicados satisfazem a igualdade .

Logo,

No trabalho mencionado no início, a "demonstração" without words (sem palavras) desse resultado é dada pela figura abaixo.

4. Se , e são medidas de ângulos e + + = /2, então

(tg )(tg ) + (tg )(tg ) + (tg )(tg ) = 1.

Justificativa: de + + = /2, tem-se + = /2 - e, portanto,

tg( + ) = tg(/2 - ) = cotg = 1/tg .

Lembrando a fórmula da tangente da soma de dois ângulos, obtemos

, que implica a igualdade desejada.

Com todas as informações incorporadas à figura abaixo,

vê-se que

p = x + y + z = x + a = y + b = z + c e tg = r/x, tg = r/y e tg = r/z.

Finalmente, de (tg )(tg ) + (tg )(tg ) + (tg )(tg ) = 1 obtém-se

ou

ou, ainda, S² = pxyz = p(p - a)(p - b)(p - c) e, portanto,