Cláudio Possani
IME - USP

O objetivo desta nota é divulgar junto aos leitores da RPM uma demonstração da irracionalidade de , extremamente elegante e fundada em argumentos geométricos. Aparentemente, o argumento central já fora utilizado pelos gregos na demonstração da incomensurabilidade do lado e da diagonal de um quadrado. Para maiores detalhes, ver o artigo Grandezas incomensuráveis e números irracionais, publicado na RPM 5.

Começamos observando que, da igualdade obtemos p² = 2q² = q² + q², que é a relação do Teorema de Pitágoras.

Assuma, por absurdo, que , com p e q números inteiros positivos e primos entre si. Assim, existirá um triângulo retângulo isósceles de lados inteiros p (hipotenusa) e q (catetos). Observe que quaisquer dois triângulos retângulos isósceles são semelhantes e, como p e q não possuem fator comum, esse triângulo de lados p, q e q é o menor triângulo retângulo isósceles de lados inteiros.

Na figura, é um arco de circunferência de raio q e centro C, com D CB. Toma-se E em AB de modo que . Daí segue que DE é tangente ao arco de circunferência mencionada e, também, que EA = ED, já que são segmentos tangentes à circunferência traçados a partir de um ponto externo.

Como , segue que o triângulo EDB é isósceles e retângulo.

ED = DB = p - q, que é inteiro. Também EB é inteiro, pois EB = p - AE = q - ED = q - (p -q) = 2q - p.

Assim, o triângulo DEB é retângulo isósceles e possui lados inteiros menores do que p e q. Isso é um absurdo que seguiu da suposição , com p e q inteiros primos entre si. A conclusão é que é irracional. Bonito, não é?

Selos Matemáticos

Selo em homenagem a Abel (Noruega 1929) comemorando o centenário de sua morte. Selos comemorativos do Ano Mundial da Matemática (2000) Selo da França de 1937 em Comemoração do 3o centenário da publicação do Discurso do Método, de Descartes.

Fonte: Internet.