Escreve-nos José Paulo Carneiro, RJ, membro do Comitê Editorial da RPM, acrescentando observações importantes a uma carta publicada nesta seção (RPM 56, p. 56). Transcrevemos aqui a nota.

Nota

Na seção Cartas da RPM 56, o colega Adalberto A. Dornelles Filho conta ter descoberto que: "se b e n forem naturais e se o resto da divisão de n por 4 for 1, 2, 3 ou 0, então o último dígito de bⁿ será o último dígito de b¹, b², b³, b⁴, respectivamente.

É interessante relacionar isso com alguns fatos de natureza geral em Aritmética.

O último algarismo de um número m na base 10 é justamente o resto da divisão de m por 10. Um bem conhecido Teorema de Euler diz que

Se b e n forem primos entre si, então bj(n) deixa resto 1, quando dividido por n, onde (n) é o número de inteiros positivos menores que n que são primos com n.

Como os únicos inteiros positivos menores que 10, que são primos com 10, são 1, 3, 7 e 9, então (10) = 4.

Segue então que, para qualquer b ímpar que não seja múltiplo de 5 (estes são os primos com 10), b⁴ termina em 1 e, conseqüentemente, para esses b, vai valer a propriedade descoberta pelo Adalberto.

Exemplo

Tomemos b = 33 e n = 2005. Como 33 é primo com 10, então, pelo Teorema de Euler, 33⁴ termina em 1 (na verdade, 33⁴ = 1.185.921, você não precisa fazer a conta).

Mas então 33²⁰⁰⁵ = 33^4´501+1 = (33⁴)⁵⁰¹x 33 termina em 3 como 33, pois é claro, sem fazer a conta, que (33⁴)⁵⁰¹, sendo o produto de 501 fatores que terminam em 1, também termina em 1.

Por outro lado, se b for ainda ímpar, porém múltiplo de 5, então b = c x 5^k, sendo c ímpar e não múltiplo de 5. Como todas as potências de 5 terminam sempre em 5, então b⁴ = c⁴ x 5^4k, pelo resultado anterior, vai terminar em 5, de modo que b⁵ termina como c⁵ x 5, etc., valendo então a mesma regra anterior.

Se b for par, também distinguimos dois casos análogos.

Se b for múltiplo de 5, então será múltiplo de 10 e é claro que qualquer potência de b termina em 0, continuando válida a regra, de modo trivial.

Se b não for múltiplo de 5, então b = c x 2^k , onde c é ímpar e não múltiplo de 5. Porém as primeiras potências de 2 são 2¹ = 2, 2² = 4, 2³ = 8 e 2⁴ = 16, ou seja, terminam em 2, 4, 8 e 6. Como 2⁵ = 32 volta a terminar em 2, então, a partir daí, o último algarismo vai se repetir ciclicamente, de 4 em 4, isto é, 2^4q+r termina com o mesmo algarismo do que 2^r e, portanto, (2^k)^4q+r = 2^4kq+kr termina com o mesmo algarismo do que 2^kr = (2^k)^r. Isso prova que a regra continuará válida.

Exemplo

Tomemos b = 108 = 27 x 2² e n = 2007 = 4 x 501 + 3. Então, 108²⁰⁰⁷ termina do mesmo modo que 108³, pois 108²⁰⁰⁷ = 27²⁰⁰⁷ x 4²⁰⁰⁷, que, pelos resultados anteriores, termina como 27³ x 4³ = 108³. A propósito, 108³ termina como 8³ = 64 x 8, que termina como 4 x 8 = 32, isto é, em 2."