234. Considere um quadrado Q e um triângulo T, ambos circunscritos a um mesmo círculo. Prove que mais da metade do perímetro do quadrado está dentro ou sobre os lados do triângulo.

(Olimpíada de Kiev, 1954.)

235. Na figura, que representa uma foto, r é a linha do horizonte e vemos dois trilhos paralelos e dois dormentes, a e a’ , já colocados. Construa, na foto, o dormente seguinte na direção do horizonte. Usar que dormentes são paralelos e a distância entre dois consecutivos é sempre a mesma.

(Enviado por Carlos Edgar Harle, SP.)

236. Achar todos os números m e n naturais que resolvam n2^n-1 + 1 = m².

(Encontrado num quadro no IME-USP.)

237. Em cada extração da Mega Sena são sorteados de forma equiprovável 6 números, entre os números 01 e 60. Qual a probabilidade de numa extração, sairem pelo menos dois números consecutivos?

1. a) Daqui a quantos dias depois de amanhã será ontem?
b) De hoje a dois dias estaremos tão distantes de sábado como de hoje a cinco dias. Que dia é hoje?
c) Quando depois de amanhã for ontem, hoje está tão distante de domingo como hoje esteve de domingo quando anteontem era amanhã. Que dia é hoje?

(Sociedade Portuguesa de Matemática, enviado por Max Denis de Lima Santos)

2. Um número é formado por 7 algarismos escolhidos entre os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7. Se a soma de cada par de algarismos sucessivos é igual à soma do primeiro par e a soma de todos os algarismos é 15, qual é o número?

3. O gavião chega ao pombal e diz: - Adeus minhas cem pombas! As pombas respondem, em coro: - Cem pombas não somos, mas com mais dois tantos de nós e com você, meu caro gavião, cem pássaros nós seremos. Quantas pombas estão no pombal?

(Enviado pela professora Terezinha M. S. Maciel)

226. Uma moeda honesta é lançada até que pela primeira vez apareçam duas caras em posições consecutivas.
a) Qual é o número máximo de caras que podem ocorrer em n lançamentos sem que o processo pare?
b) Quais as probabilidades de que em cinco lançamentos o processo
     i) pare no quarto lançamento?
     ii) não pare?

Solução

Vamos indicar a ocorrência de cara por C e coroa por c.

a) Se n é par o número máximo de caras é e ocorre nas seqüências CcCc...Cc ou cCcC... cC.

Se n é ímpar o número máximo de caras é e ocorre na seqüência CcCc...cC.

De forma simplificada podemos afirmar que o número máximo de caras em n lançamentos é, onde [p] indica o maior inteiro menor do que ou igual a p.

b) Existem duas seqüências de lançamentos que param exatamente no 4º lançamento: CcCC e ccCC. Cada uma tem probabilidade 1/16. Assim a probabilidade de ocorrer parada no 4º lançamento é igual a 1/8.
A probabilidade de não ocorrer parada nos 5 primeiros lançamentos é igual a 1 menos a probabilidade de haver parada no 2º, 3º, 4º ou 5º lançamentos, que são respectivamente:

1/4 (Cc),
1/8 (cCC),
1/6 (CcCC, ccCC) e
3/32 (cccCC, cCcCC, CccCC).

Assim a probabilidade pedida é

(Solução enviada por vários leitores.)

227. Considere a função f: N  N dada por onde [k] denota o maior inteiro menor ou igual a k. Determine o conjunto imagem de f.

Solução

Mostraremos que o conjunto imagem de f é o conjunto dos naturais, exceto os quadrados perfeitos maiores ou iguais a 1. Vejamos:

Todo natural se escreve como n² + k sendo 0 < k < 2n + 1.

Para k = 0,   f(n²) = n² + n só é quadrado perfeito se n = 0.

Para 0 < k < n e n ¹ 0, temos

que não é quadrado perfeito pois: 0 < k n n²< f(n² + k) < (n + 1)².

Para n + 1 k < 2n + 1 e n 0, temos

que não é quadrado perfeito pois:

n + 1 k < 2n + 1 (n + 1)²< f(n² + k) < (n + 2)².

Por outro lado, dado    m N    que não é quadrado perfeito, existe algum natural    n    tal que

n² + n < m (n + 1)² + (n + 1).

Se n² + n < m n² + 2n,    m = n² + n + k    com    0 < k n    e então    f(n² + k) = m.

Se (n +1)²< m (n +1)² + (n + 1),   m = n² + k + n + 1    com    n < k 2n + 1    e então    f(n² + k) = m.

228. Dado um triângulo obtusângulo, é sempre possível dividí-lo em um número finito de triângulos acutângulos? Se for possível qual é o número mínimo necessário de triângulos? Justifique sua resposta. A figura abaixo ilustra uma tentativa que não deu certo...

Solução

Sempre é possível decompor um triângulo obtusângulo em um número finito de triângulos acutângulos, sendo um número mínimo necessário desses triângulos igual a 7.

Para provar a existência de uma decomposição considere a circunferência de centro O, inscrita num triângulo ABC, obtusângulo em A. Sejam T₁ e T₂, respectivamente, as intersecções das bissetrizes dos ângulos com .

Passando por T₁, tome o segmento RS tal que R AC, S CB e RS OT₁.

Passando por T₂, tome o segmento PQ tal que P AB, Q BC e PQ OT₂.

Os sete triângulos procurados são: CRS, RSO, RAO, AOP, PQB, OQS e OPQ.

Não é difícil verificar, pela construção, que os triângulos obtidos são acutângulos.

Para verificar que não é possível uma decomposição com menos de 7 triângulos acutângulos, observe:

1) É preciso que exista um lado, L, de algum triângulo da decomposição passando por A, pois é necessário dividir o ângulo obtuso em pelo menos dois ângulos agudos.

2) Se esse lado L encontrar o lado CB, formará com ele pelo menos um ângulo não agudo. Esse seria o início de um processo de decomposição possível, mas não minimal.

3) De 1) e 2) concluímos que necessariamente existe um ponto interior, I, do triângulo ABC, que deve ser vértice de pelo menos 5 triângulos da decomposição, pois se forem 4 ou menos, haverá pelo menos um ângulo obtuso em I.

Esses 5 triângulos, mais outros 2, um com vértice em C e outro em B já totalizam 7 triângulos.

(Solução enviada por Milton Dini Maciel, SP.)

229. As equações das circunferências C₁ e C₂ da figura são, no plano cartesiano, respectivamente : x² + y² = R²A circunferência C₃ é tangente ao eixo x à C₁ e à C₂. A circunferência C₄ é tangente à C₁, C₂ e C₃. Determine apenas em função de R, as coordenadas do centro e o raio da circunferência C₄

Solução

Sendo r o raio de C₃ e s o raio de C₄, aplicando Pitágoras no OAD e no BCD, temos

OA² = OD² - r² = (R - r)² - r² = R² - 2Rr

e, portanto,

Além disso, se x = OF, y = BG e s é o raio de C₄, de

No EHD temos . Substituindo y, OA e x dados por (3), (2) e (4), obtemos a equação 17s² - 10Rs + R² = 0 e, então, .

Como , temos que ter . Substituindo s em (3) e (4) temos e o centro de C₄ dado por

.

Nota
Como observaram, entre outros, os leitores Milton Dini Maciel, Amadeu C. Almeida e Carl H. Schinke, o problema está parcialmente resolvido na seção de problemas da RPM 39.