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![]() Resolvi, de uma certa forma, fazer o contrário: se não é possível humanizar completamente um computador, podemos tentar pelo menos torná-lo mais tranqüilo, mais lento, a ponto de podermos entender certas coisas que ele faz. Foi assim que pensei no seguinte:
Como mencionado anteriormente, nossa intenção é apresentar modelos para construir gráficos de funções que nos possibilitem enxergar, ver o traço sendo executado. Esses mecanismos utilizam basicamente a noção de “parametrização” e na nossa opinião são úteis para dinamizar e facilitar o entendimento dos alunos. São dois os modos para a construção: (*) a) modo “discreto”: construir e visualizar uma curva (plana ou espacial) através de inúmeros pontos dela. b) modo “contínuo”: construir o traço de uma curva y = f(x) (ou uma superfície) continuamente. O modo “discreto” é tratado logo a seguir. O modo “contínuo” é detalhado na seção IV, incluindo a demonstração de um teorema sobre animação de curvas, que esclarece perfeitamente essa construção.
Quando digitamos no Winplot (programa gratuito em português, encontrado em http://math.exeter.edu/rparris) P = (-1, 1), Q = (2, 4), ou R = (3, 9), estamos plotando 3 pontos fixos do plano. Neste caso, como cada coordenada y desses pontos é o quadrado da coordenada x, concluímos que esses pontos P, Q, R são três pontos (fixos) que pertencem ao gráfico da curva y = x2.
Para ver melhor o aspecto da curva, pode-se escolher a opção “família” (no caso “família dos pontos” ). Construção análoga pode ser feita com a curva
y = sen(x) , digitando-se um “ponto genérico”
Para efetuar a construção dos traços
de curvas, ligando-se um ponto a outro do plano (ou espaço),
utilizamos a forma paramétrica dessa curva e introduzimos mais
um parâmetro para visualizarmos essa construção.
Mais precisamente, dada uma função y = f(x),
a
A rapidez do Pentium pode ser administrada se inserirmos um outro parâmetro k de animação, a fim de visualizarmos o seu traço, tão lentamente quanto desejarmos. O caso mais simples é o que descrevemos a seguir. b1) Curvas que se iniciam na origem O = (0, 0) Como x(t) = t, isso corresponde a iniciar a animação em t = 0 , ou seja, a = 0. Exemplo 1: y = sen x , 0 < x < 2p As equações paramétricas de y
= sen(x) ficam
Inserindo um novo parâmetro k, temos a animação no Winplot:
Ativando o parâmetro k, obtemos
a construção do gráfico dessa curva, do ponto
(0, 0) até (2
Exemplo 2: As equações paramétricas:
descrevem no plano a curva y = tg(x),
iniciando-se em x = 0. Para ver nitidamente o comportamento dessa
função, inclusive com os comportamentos próximos
aos pontos de descontinuidade x =
Animação no Winplot:
b2) Curvas que se iniciam em um ponto qualquer do plano Quando a curva que desejamos não se inicia no ponto (0, 0), a parametrização é um pouco mais delicada. A seguir descreve-se a lógica dessa escolha. Antes, apresentaremos mais um exemplo. Exemplo 3: Construção do traço da curva y = x2 , -2 < x < 3 Suponhamos que queiramos ligar os pontos P = (-2, 4) a Q = (3, 9) através da parábola y = x2, de maneira lenta e gradual. Como fazer? As equações paramétricas dessa parábola
são: Neste caso, a construção será dada por: -2 < x < 3, 0 < k < 1.
x(t) = -2 + (t + 2) , ou seja, x(t) = t. Temos também que y(t) = (-2 + (t + 2) )2 , ou seja, y(t) = t2, o que nos fornece a curva y = x2 inteira, de P até Q.
Podemos enfim enunciar um princípio geral para animação
de curvas, que ligam dois pontos do plano: Se
Justificativa: O novo parâmetro t = a + k (t - a) é tal que:
Exemplo 4: Considere os pontos
P = (-2, 4) e Q = (3, 9). Vamos construir a animação
do segmento PQ que une esses pontos,
juntamente com o da parábola y
= x2 , no intervalo -2
Solução: Um ponto
genérico P(t) =(x(t), y(t))
do segmento PQ é dado por P(t) = P
+ t(Q - P) , onde 0 Substituindo esses pontos na equação, temos (x(t), y(t)) = (-2, 4) + t(5, 5). Logo, as equações paramétricas do segmento são:
Temos que a = 0, pelo visto anteriormente. Logo, o novo parâmetro
será
Logo, a construção contínua do segmento é obtida digitando-se:
A parábola já foi vista no Exemplo 3. Suas equações são
Temos neste caso que a = -2 ; o
novo parâmetro será
Ativando o parâmetro k entre 0 e 1, temos as seguintes visualizações: VI
- Curvas e superfícies no espaço O processo para construir o traço de uma curva ou superfície no espaço é análogo ao de curvas no plano, lembrando que o "parâmetro extra" de animação deve sempre variar entre 0 e 1.
Exemplo 5: Animação de uma hélice no espaço As equações paramétricas de uma hélice são:
Neste caso temos uma hélice "inscrita" no cilindro x2 + y2 = 4 . Como a = 0, nosso teorema permite reparametrizar a hélice como
Ativando a animação com o parâmetro k, temos:
Exemplo 6: Construção do helicóide O helicóide é uma superfície regrada, gerada por retas que passam pelos pontos da hélice e que são perpendiculares ao eixo Oz. Dessa forma, se uma hélice tem equações
Para visualizar a construção contínua do helicóide, introduzimos o parâmetro adicional k como abaixo:
Exemplo 7: Construção do helicóide através das retas geratrizes (modo discreto) Equações paramétricas das hélices (2 parâmetros de animação):
Observação: Os parâmetros a e b nos dão boas possibilidades para explorar as hélices no espaço. No nosso caso, para melhorar a construção e visualização do helicóide, utilizamos a = 2, b = 0,5.
Construção
Exemplo 8: Superfície cilíndrica ao longo
da curva Essa atividade imita um professor de matemática, desenhando com seu pincel o gráfico da função y = sen(x). O último quadro mostra a superfície cilíndrica gerada pela família dos segmentos que representam os pincéis. As equações paramétricas dessa curva seno são
dadas por
Deixamos ao leitor a tarefa de completar o restante dos detalhes dessa construção. Qualquer dúvida (ou sugestão) pode ser endereçada para adelmo@ufba.br ou então para ajesus@faculdadesjorgeamado.com.br
(*) É verdade que uma dessas opções já está encorporada nos softwares mais pesados, como o Maple e o Mathematica. Nossa intenção é ressaltar a possibilidade de desenvolver essas atividades em softwares gratuitos disponíveis para professores e alunos em geral, utilizando equações relativamente simples. |