Temos recebido de leitores, colegas professores de Matemática, vários relatos de experiências em sala de aula. Selecionamos dois para divulgação entre nossos leitores.

     I. A regra do Z
André Luis F. dos Santos  
A regra diz que os ângulos internos do Z são iguais.

Aplicação 1
Prove que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°.
Basta usar a regra do Z duas vezes, como indicado na figura.

Aplicação 2
Prove que

Usando a regra do Z, teremos a figura abaixo.

 

 

     II. Simetrias numéricas
Yuri Michelan Rodella  

Quando se trabalha com números, depara-se com certas propriedades curiosas, sendo interessante buscar, em sala de aula, a verdadeira natureza dessas propriedades, mostrando como se obtêm os resultados anunciados.

A propriedade numérica aqui salientada é a relação entre um número e outro formado pela permutação de seus algarismos.

Para ilustrar o assunto, basta observar aquele famoso número 142 857, período da fração , e seus múltiplos, mostrados na tabela, todos formados por permutações de seus algarismos. O leitor interessado poderá encontrar uma justificativa para esse resultado na revista Eureka!, número 1, pp. 38, 39 e 40.
142857 x 2 = 285714
142857 x 3 = 428571
142857 x 4 = 571428
142857 x 5 = 714285
142857 x 6 = 857142
Mais intrigante é a brincadeira: tome um número qualquer de três algarismos tal que a diferença entre o algarismo das centenas e o das unidades seja maior que 1. Escreva o número na ordem inversa e do maior subtraia o menor; em seguida some ao resultado o próprio resultado em ordem inversa.

Então o professor se deleita ao proferir o número 1 089, ou o quadrado de 33, para os mais versados.

Exemplos

715 - 517 = 198 922 - 229 = 693
198 + 891 = 1089 693 + 396 = 1089

Vejamos uma justificativa do por que isso acontece.

Denotamos o número de três algarismos por abc, abc = 100a + 10b + c, com c - a > 1. O segundo número é sempre maior do que o primeiro porque c > a, portanto devemos fazer (100c + 10b + c) - (100a + 10b + c):

Começando fazer a subtração, como a < c temos que “emprestar” 10 do 10b, ficando

Continuando a subtração, temos que “emprestar” 100 do 100c, ficando

Observe que 10 + a - c e c - a - 1 estão estritamente entre 0 e 9, portanto são, respectivamente, o algarismo das unidades e das centenas da diferença. Efetuando a soma indicada, obtemos:

mostrando que a soma sempre é 1089.