Temos duas “novidades”. O professor Sérgio Alves, um dos responsáveis por essa seção desde a RPM 31, está sendo substituído nessa tarefa pelo professor Antônio Luiz Pereira, do IME - USP, um de nossos editores. A RPM quer, de público, agradecer a valiosa colaboração do professor Sérgio Alves, sabendo que poderá continuar contando com o seu apoio e ajuda e, ao mesmo tempo, dar as boas vindas ao professor Antônio Luiz Pereira na sua nova função.

A segunda novidade é que neste número estaremos atendendo a solicitação de um único leitor, de Marília, SP, que escreveu:

RPM

Todos nós, professores, que já trabalhamos na elaboração de testes para concursos, sabemos o quão difícil é produzir uma prova grande sem erros. Por mais cuidado que se tome, um ou outro erro pode acabar escapando. Por outro lado, a análise desses erros pode ser muito instrutiva o que nos leva a atender a solicitação do leitor.

Questão 46
Após o levantamento da idade dos alunos em uma sala de Educação de Jovens Adultos, o professor solicitou que organizassem uma tabela com esses dados. Para a construção dessa tabela, os alunos determinaram os intervalos de idades e freqüências:

Em relação a esses dados, é possível afirmar que a moda é
        a) 28 e a média é aproximadamente igual a 31
        b) 28 e a média é aproximadamente igual a 34
        c) 33 e a média é aproximadamente igual a 34
        d) 38 e a média é aproximadamente igual a 31
        e) 38 e a média é aproximadamente igual a 34

Provavelmente a questão foi anulada porque com a informação dada no enunciado é impossível determinar a moda da distribuição. Na distribuição original (que associa a cada idade o número de alunos que tem aquela idade) a moda é, por definição, a idade à qual corresponde o maior número de alunos. Não é difícil construir exemplos de distribuições com modas diferentes que tem a mesma distribuição por intervalos. Logo, o conhecimento da distribuição por intervalos não determina de maneira única a moda da distribuição.

(Professor Flávio W. Rodrigues)

Questão 57
Uma possível abordagem de ensino dos conjuntos numéricos é construí-los a partir das operações aritméticas básicas. Por exemplo: no conjunto dos números naturais é sempre possível efetuar as operações de adição (a + b) e a multiplicação (a x b), mas nem sempre é possível a subtração (a – b, quando a < b). A introdução dos números negativos dá origem a um novo conjunto, denominado conjunto dos números inteiros. Seguindo esta lógica, podemos afirmar que:

a) no conjunto dos números inteiros nem sempre é possível efetuar a operação de subtração.
b) no conjunto dos números inteiros não é possível efetuar a operação de divisão.
c) no conjunto dos números inteiros é sempre possível efetuar as operações de adição,      subtração, multiplicação e divisão.
d) no conjunto dos números racionais nem sempre é possível efetuar a operação de divisão.
e) no conjunto dos números racionais é sempre possível efetuar as operações de adição,      subtração, multiplicação e divisão.

A questão tem vária impropriedades. Talvez ela tenha sido anulada porque as alternativas d) e e) dependem da interpretação das frases “nem sempre é (ou sempre é) possível efetuar a operação de divisão no conjunto dos números racionais”. Porque em conjuntos numéricos nunca é possível efetuar uma divisão por zero, algumas pessoas considerariam o zero automaticamente excluído da questão e optariam pela alternativa e) que é a do gabarito. Outras pessoas considerariam correta a alternativa d) justamente porque não existe divisão por zero.

(Professora Renate Watanabe)

Questão 58
“As exponenciais aparecem em todo o tipo de áreas importantes, familiares e não familiares - por exemplo no juro composto. Se, por exemplo, um antepassado seu tivesse depositado dez dólares no banco para você há duzentos anos, isto é, logo depois da revolução americana, e o depósito acumulasse um juro anual constante de 5%, a essa altura o dinheiro valeria dólares, isto é, 172 925,81 dólares. Mas poucos antepassados são tão solícitos quanto à fortuna de seus descendentes remotos, e dez dólares era muito dinheiro naqueles dias. (...) Vale o mesmo para a inflação. Se a taxa é de 5% ao ano, um dólar vale 0,95 cents depois de um ano; cents depois de dois anos; 0,61 cents depois de 10 anos e assim por diante. É uma questão muito prática para os aposentados que recebem pensões equivalentes a um número fixo de dólares por ano sem reajuste de inflação.”

(Carl Sagan, “Bilhões e bilhões”)

O texto acima refere-se a uma situação da economia norte-americana.

No Brasil, a aposentadoria está atrelada ao valor do salário mínimo (R$240,00 desde 01/04/2003). Se a inflação nos próximos anos ficar em torno de 10% ao ano, o valor do salário mínimo, decorridos 3 anos sem reajuste, seria de aproximadamente:

(a) R$168,00     (b) R$175,00     (c) R$240,00      (d) R$312,00      (e) R$319,00

Provavelmente a questão foi anulada porque o grande astrônomo Carl Sagan parece não ter sido bom aluno de Matemática no colégio e seu texto está errado! Segundo ele, a resposta seria 175, mas, em verdade, a resposta é 180. Uma inflação de 5% não reduz o valor de 1 dólar a 0,95 dólar e sim a 1/1,05 dólar. Isto está explicado no fim do capitulo 3 do livro de Zani, Wagner e outros Progressões e Matemática Financeira, publicado pela SBM na Coleção do Professor de Matemática. A resposta correta da questão é 240/(1,1)3 que vale aproximadamente 180.

(Professor Augusto C. Morgado)

Questão 66
Considerando que seja r o raio da maior circunferência circunscrita às figuras (ao lado), a área da menor circunferência será:

a)...     b)...      c)...     d)...      e)...

Provavelmenete a questão foi porque a circunferência maior está circunscrita a apenas uma figura: o quadrado.