Márcio Andrade Monteiro
Curso Seleção- DF

     Vejam o que eles fizeram


Ao estudar os pontos notáveis de um triângulo, baricentro, incentro, ortocentro e circuncentro, dois alunos meus de uma turma de curso preparatório para o concurso de admissão ao Colégio Naval (concurso este que exige a 8a série do ensino fundamental, mas com grau de dificuldade das provas bastante alto, principalmente em Matemática) observaram uma propriedade interessante do ortocentro:

O simétrico do ortocentro em relação a um lado pertence à circunferência circunscrita.

Fernando Lucatelli, 14 anos, e Alex Moroguma, 15 anos, iniciaram estudando o caso do triângulo acutângulo, que é o mais interessante, e depois estenderam o resultado para os triângulos retângulo e obtusângulo. Vejam o que eles fizeram.

     1º caso: triângulo acutângulo

Considere um triângulo ABC inscrito em uma circunferência. Traçando, pelos vértices, segmentos perpendiculares aos lados opostos teremos as alturas e que se cortam em H, ortocentro de ABC. As retas suportes das alturas cortarão a circunferência em M, N e P, respectivamente.

Proposição

     

Demonstração

Se e , então e são complementares e , pois o triângulo FCB é retângulo. Além disso, e são ângulos inscritos relativos ao mesmo arco BM, logo .

Os triângulos CHD e MCD são congruentes, (caso ALA) e, portanto, , como queríamos demonstrar.

Repetindo o mesmo raciocínio para os outros lados, temos provada a proposição.

 

     2º caso: triângulo retângulo

O ortocentro de um triângulo retângulo coincide com o vértice do ângulo reto.

Se e então. Além disso, e são ângulos inscritos relativos ao mesmo arco AB, logo . Logo, os triângulos ABD e MBD são congruentes e, portanto, .

 

    3º caso: triângulo obtusângulo

Se , então , e, como é o complemento de , então . Além disso, pois são ângulos inscritos que subtendem o mesmo arco AC. Logo, os triângulos retângulos CDH e CDM são congruentes o que implica

A proposição está demonstrada.

Apesar do resultado descoberto não ser inédito, eu mesmo já o tinha utilizado uma vez na resolução de um problema, a propriedade não é algo comum que aparece em livros didáticos, nem como exercício.

O mais importante dessa descoberta é ver que jovens com talento acima da média em Matemática podem, recebendo o estímulo adequado, fazer suas próprias descobertas, mesmo sendo bastante novos e ainda levando em consideração que a Geometria desenvolvida no ensino fundamental, na maioria das escolas, é muito superficial.