226. Uma moeda honesta é lançada até que pela primeira vez apareçam duas caras em posições consecutivas.

a) Qual é o número máximo de caras que podem ocorrer em n lançamentos sem que o processo pare?
b) Quais as probabilidades de que em cinco lançamentos o processo
     i) pare no quarto lançamento?
     ii) não pare?

227. Considere a função dada por onde [k] denota o maior inteiro menor ou igual a k. Determine o conjunto imagem de f.
(Extraído do livro Problem-solving strategies de A. Engel.)

228. Dado um triângulo obtusângulo, é sempre possível dividí-lo em um número finito de triângulos acutângulos? Se for possível qual é o número mínimo necessário de triângulos? Justifique sua resposta.
A figura abaixo ilustra uma tentativa que não deu certo...

(Tirado do livro My best Mathematical and Logic Puzzles, de Martin Gardner.)

229. As equações das circunferências C₁ e C₂ da figura são, no plano cartesiano, respectivamente: e .
A circunferência C₃ é tangente ao eixo x à C₁ e à C₂. A circunferência C₄ é tangente à C₁, C₂ e C₃.

Determine, apenas em função de R, as coordenadas do centro e o raio da circunferência C4.

(Enviado por Adriano Rocha Pereira, São Paulo, SP.)

1. A mãe de Ana Margarida vende doces e pediu-lhe que embrulhasse 2003 brigadeiros de 5 cores diferentes em pacotes de 3, de forma que em cada pacote os brigadeiros fossem da mesma cor. Como recompensa prometeu-lhe que poderia comer todos os brigadeiros que restassem quando já não fosse possível fazer mais pacotes.Quantos brigadeiros, no máximo, poderá a Ana Margarida comer?

(Tirado do Jornal de Matemática Elementar. Lisboa, dezembro de 2003.)

2. João, parado na porta de sua casa, conta as pessoas que passam em ambas as direções. Pedro caminha ida e volta no quarteirão da casa de João e conta as pessoas com as quais cruza, em ambas as direções. Quem conta mais?

(Adaptado do livro Inteligência instantânea de Jaime Poniachik.)

3. Dispomos de quatro cores distintas e precisamos colorir o mapa da figura com os países P, Q, R e S, de modo que países cuja fronteira é uma linha não podem ser coloridos com a mesma cor. De quantas maneiras é possível colorir o mapa, se:
            a) P e S forem coloridos com cores distintas?
            b) P e S forem coloridos com a mesma cor?

(Vestibular da UNESP, 2003.)

Respostas na p. 52.

218. Dados m e n inteiros positivos, considere um retângulo, de base m e altura n, quadriculado com coordenadas inteiras. Determine o número de pontos de encontro da diagonal do retângulo, d, com o quadriculado incluindo os lados do retângulo original.

Solução
Sejam H = {pontos de d que estão sobre alguma horizontal do quadriculado} e V = {pontos de d que estão sobre alguma vertical do quadriculado}
Se A é um conjunto finito de pontos, usaremos a notação | A | para indicar o número de elementos de A.
O número de pontos procurado é igual a:

Aplicando o resultado do artigo Como obter o MDC e o MMC sem fazer contas? (RPM 51, p. 29-31) temos e, como e segue

(Solução adaptada da enviada por Marcelo Polezzi.)

219. Dados x e y números inteiros positivos, mostre que, se é divisível por 10, então é divisível por 100.

Solução
Se 10 divide , então 2 divide ; logo, é par, implicando x e y pares, o que, por sua vez, implica múltiplo de 4. Se 10 divide , então 5 divide .
Se mostrarmos que isso implica x e y múltiplos de 5, teremos que 25 dividirá , que é múltiplo de 4, logo 100 dividirá .

Prova de que x e y são múltiplos de 5
Escrevendo com a, b, c e d inteiros não negativos e obtemos

Como 5 divide , temos que 5 divide

Se temos que não é múltiplo de 5, já que b =1, 2, 3 ou 4.
Se fazendo todas as possíveis substituições para b e d em , obtemos:

Como nenhum dos resultados é divisível por 5, concluímos que b = d = 0 e, portanto, x e y são múltiplos de 5.

(Solução de Sérgio dos Santos Correia Jr., RJ.)

220. Considere duas retas paralelas que distam a entre si e um quadrado ABCD, de lado a, situado no plano das paralelas numa posição tal que os vértices A e C estejam em lados opostos do plano dividido pela faixa das paralelas.
Calcule a soma dos perímetros dos triângulos sombreados.

Solução

Consideremos o quadrado MNPQ, com lados paralelos às retas paralelas dadas e contendo os vértices ABCD, como na figura. Se é o ângulo indicado, então
DQ = asen e MD = acos.
Logo, a medida dos lados do quadrado MNPQ é igual a  asen + acos.
Indicando por z e z´ as hipotenusas dos triângulos som-breados e por h e h´ as alturas desses triângulos, temos:

221. Denotando por [x] o maior inteiro menor ou igual a x, determine para que valores de x cada uma das igualdades abaixo é verdadeira:

a)         b)          c)

Solução

a) É fácil ver que a igualdade x + [x] = [2x] vale para todo x inteiro. Por outro lado, se a igualdade é verdadeira, então x = [2x] - [x] terá que ser um inteiro, pois é a diferença de dois números inteiros. Segue que a igualdade é verdadeira se e somente se x for um número inteiro.

b) Se a igualdade dada em b) for verdadeira, 2x será um número inteiro pois ele será igual à soma de dois inteiros. Conclui-se pois que ou x é inteiro ou com k inteiro.
Para x inteiro e e, portanto,

Para , e Segue-se que
Conclui-se que a igualdade b) é verdadeira se e somente se com k inteiro.

c) Qualquer que seja o número real x, ele pode ser representado pela soma , onde k é inteiro e
i) Suponha Então,
Por outro lado, e a igualdade é verdadeira.
ii) Suponha, Então, e Por outro lado, e a igualdade é verdadeira. Segue-se que c) vale para todo .

(Adaptado da solução enviada por Sérgio dos Santos Correia Jr., RJ.)

Por outro lado, e . Sendo x, y, x´ e y´ os catetos indicados na figura, temos

e o que implica

e o que implica

A soma, s, dos perímetros dos triângulos sombreados será:

s = x + x´+ y + y´ + z + z´

(Solução enviada pelo leitor J. Claudio M. Velloso, RJ)

Algumas das soluções enviadas por leitores assumiram que o quadrado estava numa posição particular, ou assumiram, a priori, que a soma era constante. Essas soluções não foram consideradas.