Este artigo apresenta uma brincadeira de adivinhação criada por William Fitch Cheney Jr., em 1920, envolvendo conteúdos de Matemática elementar. Posteriormente, o inventor da mágica veio a obter o grau de doutor em Matemática (ver Revista Galileu, no 143, junho/2003).

Retiram-se os coringas de um baralho e o público escolhe 5 cartas e as entrega ao ajudante do mágico. Este escolhe sabiamente uma carta para esconder e apresenta ordenadamente as 4 restantes ao mágico, que imediatamente adivinha qual foi a carta escondida.

Cada um dos 13 tipos de carta do baralho: 1 (Ás); 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 (Valete); 12 (Dama) e 13 (Rei) pode aparecer em quatro naipes distintos ( copas, ouros, espada, paus). Há, portanto, 52 cartas disponíveis para que o público escolha um grupo de 5.
Exemplos de rodadas:

Escolha do público	Carta oculta	Ordem mostrada ao mágico
5 11 2 9 7 11 7 12 2 5 A 9 4 2 13	11 5 2	5 - 9;7;2 12 - 11; 7;2 A - 4; 9; 13

Na brincadeira, quando o mágico olha a seqüência de cartas da coluna da direita, ele adivinha a carta escondida. Desconfiamos que a primeira carta dessa seqüência indica o naipe da carta oculta, mas existem muitas cartas do mesmo naipe. Pressupõe-se que a segunda, a terceira e a quarta cartas exibidas ajudem a dirimir a dúvida.

Observe a circunferência.

Dado um par de cartas, é possível escolher uma, a inicial, de modo que para chegar à outra, final, ande-se no máximo 6 unidades na circunferência, no sentido horário.

Por exemplo, dado 4 e 11, tomando 11 como carta inicial e andando 6 unidades no sentido horário, alcançamos a carta final 4. (Não podemos tomar 11 como carta inicial porque precisaríamos andar 7 unidades para chegar no 4.)

Num grupo de 5 cartas existe pelo menos um par do mesmo naipe (princípio da casa de pombos). O ajudante deve esconder a carta final e mostrar primeiramente a carta inicial para o mágico, que então saberá o naipe da carta oculta.

As outras três cartas dirão se o mágico somará 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 unidades ao número da carta inicial. Essa adição será efetuada andando na circunferência acima, sempre no sentido horário. Por exemplo, se o mágico efetuar 9 + 6, obterá 2, pois, saindo do 9 e andando 6 unidades na circunferência, no sentido horário, chegará no 2.

Existem 6 modos de permutar 3 cartas distintas. Vamos chamar a carta menor de P (pequena), a carta intermediária de M (média) e a carta maior de G (grande). E usemos o seguinte código:

Se houver duas cartas com o mesmo número, o desempate se dará pela ordem alfabética dos naipes: coroa < espadas < ouro < paus.

Por exemplo, considere as três cartas 5, 2 e 9 (aqui o naipe não é importante). A ordenação 2, 5, 9 indica que devemos somar 1, pois a ordem da seqüência é PMG = 1, enquanto a ordenação 5, 2, 9 indica que devemos somar 3, já que essa seqüência corresponde a MPG = 3.

Na escolha 5, 11, 2, 9, 7, efetuada pelo público, apareceram 5 e 11 do mesmo naipe. O 11 deve ser escondido. Quando o mágico observa a primeira carta exibida, 5, ele já sabe que a carta oculta é de copas e que deve somar 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 ao número 5. A seqüência das três cartas exibidas a seguir, 9, 7, 2, encaixa-se no modelo GMP = 6. Assim, deverá somar 5 + 6, obtendo 11. Como o número 11 corresponde ao valete, o mágico adivinha que a carta escondida é o valete de copas.

O ajudante precisa estar muito atento na hora de decidir qual carta deve ser escondida e em que seqüência deve colocar as outras cartas. É mais difícil ser ajudante de mágico do que ser mágico!

Por que a mágica funciona?

Para entender o procedimento precisamos fazer contas na aritmética módulo 13. Vejamos.

Dadas duas cartas a e b (números entre 1 e 13), uma das diferenças (a - b) mod 13 ou (b - a) mod 13 está entre 1 e 6 [no caso de 4 e 11, por exemplo, 11 - 4 7 (mod 13), mas 4 - 11= -7 6 (mod 13) ].

Se 1 < (a - b) mod 13 < 6, a será a carta a ser escondida e b será a carta inicial. Se 1 < (b - a) mod 13 < 6, b será a carta a ser escondida e a será a carta inicial.

No primeiro exemplo da tabela: 5 - 11 = -67 (mod 13) e 11- 5 = 6 6 (mod 13). Logo, 11 será a carta a ser escondida e 5 será a carta inicial. Também o mágico fará as somas módulo 13. Assim, no segundo exemplo da tabela, fará: 12 + 6 = 18 = 5 (mod 13).

Nos idos de 1991, quando eu ainda freqüentava o Cursinho, deparei-me durante uma aula com um resultado que me cativou: a expressão do resto na divisão de um polinômio P(x) por . Determinar o resto é constantemente usado em livros-texto do ensino médio:

logo,
P(a) = Aa + B e P(b) = Ab + B, o que leva a

A partir daquele momento, não pude deixar de me fazer a pergunta: o que se pode dizer sobre o quociente Q(x) da divisão de P(x) por ? Essa pergunta já não é tão comum de ser encontrada em textos do ensino médio.

Depois de vários experimentos numéricos, estava convencido de que sabia a resposta. Porém, minhas demonstrações daquela época eram apenas “mostrações” entusiásticas de um aspirante de calouro do curso de Matemática. Daí, o tempo passou e, um dia desses, ao preparar as aulas que ministro na Universidade, a lembrança daquele problema veio à minha mente com toda a força e fiquei determinado a formulá-lo com clareza e a demonstrá-lo rigorosamente.

Vejamos nosso resultado:

Sejam Q₁(x) e Q₂(x) os quocientes da divisões de um polinômio P(x) por (x - a)   e   por (x - b), respectivamente, com Então, o quociente Q(x) obtido pela divisão de P(x) por é dado por

Prova

Q(x) pode ser obtido na divisão de Q₁(x) por (x - b) ou na divisão de Q₂(x) por (x - a), logo,
e .
Mas e ,e fazendo x = a e x = b nessas expressões obtém-se Q₁(b) = Q₂(a). Com isso, , o que demonstra o resultado.

Desafio

Sejam Q₁(x) e Q₂(x) os quocientes das divisões de um polinômio P(x) por (x - 1 )e por (x - 2), respectivamente. Além disso, suponha que
Determine Q₁(x) e Q₂(x).

Sugestão
Verifique que da demonstração acima podemos concluir que Q(x) pode ser determinado pelo quociente da divisão de rQ1(x) + sQ2(x) por (r + s)x - (rb + sa), com r, s reais tais que r² + s² 0.