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Fernando
Trotta Um aluno brilhante de um curso pré-vestibular procurou-me, certa vez, perguntando se, da mesma forma que era possível observar graficamente as raízes reais de uma equação de 2º grau, era possível fazê-lo para as raízes imaginárias (ou seja, complexas e não reais). Imediatamente
respondi a ele com uma negativa, argumentando que para representar uma
função de C em C
da forma w = f(z) =
az2 + bz + c, com
a, b, c e
No
mesmo dia, no entanto, pensando melhor, concluí que, ao querer
observar as raízes imaginárias de uma equação
de 2º grau, o aluno não estava interessado na visualização
completa da função Como
w = 0 A primeira preocupação que tive foi a de determinar o domínio A, imaginando-o o mais amplo possível para que u = f(z) seja um valor real. E achei divertido chamar o conjunto A de domínio de realeza da função. Fazendo,
então, z = x + yi, com x e y
Para
que u Logo,
no plano xy, o domínio de realeza A
era dado pela união de duas retas perpendiculares: uma de equação
(o eixo dos x) e outra de equação No
sistema cartesiano Oxyu para o espaço tridimensional,
o plano xy corresponde ao plano u = 0, enquanto
a equação representa o plano xu, e a equação
Quando se faz y = 0 em (1), obtém-se u = ax2 + bx + c, a própria equação original, ou seja, o fato de o plano y = 0 fazer parte do domínio A traduz apenas a constatação óbvia de que u = ax2 + bx + c é real, quando x é real (já que a, b, c 
R). Mas aí não se encontrarão raízes,
uma vez que  no
caso que nos interessa, isto é, o caso em que as raízes de
ax2 + bx + c = 0 são imaginárias.
No
plano
Logo,
Ou
seja, a parábola
E,
como Logo,
as raízes complexas de az2 + bz +
c = 0 aparecerão, no gráfico, com os pontos Isso
pode ser visto num esquema tridimensional, mas é mais simples vê-lo
em duas dimensões no plano
A equação z2 - 6z + 10 = 0 não tem raízes reais, pois 
Nesse caso, 
Fazendo z = 3 + yi,
a função u = z2 - 6z
+ 10 torna-se a função real
u
= 1 - y2, que se anula quando
A indagação inteligente de um aluno me fez “aprender” um fato novo matemático que, se não tem nenhuma aplicação prática (será que não tem mesmo?), pelo menos é bastante curioso. A história contada no início do texto ocorreu na década de 70 e, no volume do mestre da coleção Matemática aplicada (Trotta, Imenes, Jakubovic, 1980, p. 92), há um resumo do assunto tratado neste artigo. Recentemente, numa reunião com professores em São José dos Campos, o tema voltou à tona, o que me motivou a escrever este artigo. Além disso, o Comitê Editorial da RPM observou
que no artigo Visualizing the complex roots of quadratic and cubic
equations de autoria de Alan Lipp, publicado na revista Mathematics
Teacher (vol. 94, no 5, 2001), o autor trata do mesmo assunto, incluindo
também as equações cúbicas.
O artigo do Prof. Trotta mostra uma maneira como podem aparecer num gráfico cartesiano as raízes complexas de uma equação do segundo grau, ax2 + bx + c = 0, com coeficientes reais e discriminante negativo. Essa maneira surgiu, como ele narra, da interessante idéia de considerar a função complexa f(z) = az2 + bz + c restrita aos valores de z que tornam f(z) real. Surge então uma outra função quadrática que tem raízes reais que se relacionam de modo simples com as raízes complexas da equação original. Graficamente, faz-se necessário apelar para o espaço tridimensional, mas, em última análise, surge uma outra parábola que pode ser vista em duas dimensões, apenas em um outro plano yu distinto do plano original xy. Uma vez realizada a idéia (que se encontra também na outra fonte citada pelo autor), podemos também nos liberar da estratégia original e encarar o problema apenas como o de encontrar alguma transformação que transforme a parábola y = ax2 + bx + c em uma que corte o eixo x (do mesmo plano xy), correspondente a outra função quadrática que tem raízes reais que se relacionam de modo simples com as raízes complexas da equação original. Nesse caso, há várias outras soluções para o problema. Por exemplo, se a, b e c forem números
reais tais que Esses dois pontos são as raízes complexas de f (supondo que se identifique o complexo x + yi com o ponto (x; y)). A figura abaixo ilustra a construção descrita.
A justificativa desse fato é simples. É bem sabido que o vértice de P é o ponto
|
sendo
z = x + yi e w = u
+ vi com x, y, u, v 
,
mas sim na visualização das raízes de w,
ou seja, de 
.
,
com a, b, c 
,
definida em um subconjunto A de C, a saber,
o conjunto dos valores de z que tornam f(z)
real. Assim, necessitaria apenas de um sistema cartesiano tridimensional,
com um eixo para x, outro para y (já que z
= x + yi) e um terceiro para u.
.
(com
a mesma direção do eixo y).
(olhada
no plano 
)
é o gráfico que estávamos procurando. Note que, para
essa função quadrática, real e de variável
real, temos: 
(lembrando
que 
).
que
são justamente as raízes complexas de az2
+ bz + c = 0. 
que
são os pontos onde a parábola 
,
corta
o plano u = 0.
,
onde só se vê u variando em função
de y . Como era de esperar, os dois pontos são simétricos
em relação ao plano y = 0 (olhando no plano 
A
Figura 1 mostra a parábola u
= 1 - y2 no plano x
= 3 e
os pontos 
correspondente
às raízes da equação z2
- 6z + 10 = 0. No espaço tridimensional, esses pontos
são os pontos
onde
a parábola x
= 3, u = 1 - y2 corta o plano u
= 0 (Figura 2).
o
gráfico da função f definida por y
= f(x) = ax2 + bx + c
não corta o eixo X. No entanto, ainda assim, é
possível ver no gráfico cartesiano de f (o qual
é uma parábola P) as raízes complexas de
f. Para isso, basta determinar a parábola P’,
simétrica de P em relação à reta
“horizontal” r (ou seja, paralela ao eixo X)
que passa pelo vértice de P e, em seguida, as interseções
x1e x2 de P' com o eixo
X. Finalmente, a circunferência de diâmetro x1x2
corta nos pontos z e w a reta "vertical" s
(ou seja, paralela ao eixo vertical) que passa pelo vértice
de P . 
Portanto, a reta r tem equação 
A figura ao lado mostra então que a simetria em relação
à reta r transforma cada ponto (x; y) no ponto
(u; v) tal que 
seja o ponto médio de (x; y) e (u;
v). Portanto, u = x e 
O novo discriminante agora é: 
Portanto, as raízes de g são os números
reais 
A construção feita com o círculo indica
então que os pontos z e w são os complexos
conjugados 
, que são justamente as raízes de f.