Um leitor escreveu para a RPM dizendo que não gostou do jeitinho para escrever 99 com quatro quatros, descrito nesta seção, na RPM 53. Ele ofereceu uma solução “americana”: Nos Estados Unidos, os números entre 0 e 1 são representados, em notação decimal, através do uso de um ponto. Lá escreve-se .4 no lugar de 0,4 ou, ainda, para indicar 0,444.... Isto é, Então, para os americanos,
Outro leitor escreveu “Após algumas tentativas encontrei a seguinte expressão: , sendo mas essa expressão usa a função Gama, que acredito não seja vista no ensino médio”.
Leitores que desejarem saber mais sobre o problema dos quatro quatros (ou four fours) encontrarão muitas informações na internet. Basta acessar um programa de busca e digitar as palavras four fours. Uma expressão que lá se encontra é

Escreve-nos Marcos Antonio Chaves de Oliveira, do Ceará: Observando a dificuldade na resolução de por parte de alguns colegas, julguei interessante publicar uma resolução no O leitor pergunta.

RPM
De fato, a RPM recebe várias perguntas relativas a equações como a acima. Eis a resolução enviada pelo leitor.
Dividindo ambos os membros da equação por 6x, obtém-se , ou seja, .
Estão esboçados abaixo os gráficos de e .

A abcissa do ponto de interseção dos dois gráficos é a solução da equação, isto é, x é aproximadamente igual a 0,8. Deve-se observar que resoluções gráficas dão soluções aproximadas.

É oportuno lembrar aqui as palavras do professor Elon Lages Lima, publicadas na RPM 2, p.18: “A curiosidade que (uma tal equação) suscita talvez se deva ao fato de que as pessoas geralmente se sentem inseguras quando, para resolver uma equação, precisam apelar para os execráveis ‘métodos numéricos’. Estamos condicionados a preferir métodos ‘algébricos’, fórmulas assim como a da equação do 2º grau, ou artifícios específicos para cada equação que enfrentamos. Ao adotarmos esse ponto de vista, entretanto, estamos esquecendo duas coisas:

a) Uma ‘fórmula fechada’ como a que existe para as equações do 2º, 3º, e 4º graus, é muitas vezes uma vitória ilusória, nem sequer nos dá uma idéia da ordem de grandeza das soluções;
b) Todo processo de resolução de uma equação recai, mais cedo ou mais tarde, num cálculo numérico que dará o resultado final, com a aproximação desejada.”

Uma solução mais aproximada da equação dada é obtida por processos numéricos embutidos num computador.

Uma pergunta pouco usual foi formulada por um leitor do Pará:
Se f é uma função de período p e g é uma função de período q;
se p/q = m/n com m e n primos entre si;
se S(x) = f(x) + g(x) e P(x) = f(x) g(x), então vê-se que
S(x + np) = S(x) e P(x + np) = P(x), isto é, S e P são periódicas.

Pergunta: o número np é o período das funções S e P?

RPM
A resposta foi dada pelo professor Janey A. Daccach.
Entendemos que o período de uma função f é o menor número real positivo p tal que, para todo x do domínio de f, .
A resposta da pergunta relativa à soma S(x) = f(x) + g(x) é não e a resposta para a função produto, P, também é não.

Vejamos exemplos para os dois casos:

Para a soma, consideremos as funções f e g dadas graficamente por:

Temos , , e período de S = 1 np.
Para o produto consideremos as funções f e g: e , ambas funções periódicas de período de período 2. Se P(x) = (fg)(x) = f(x) g(x), então,

             ,

e novamente temos , , e período de P np.

Curiosidade: A função é uma função periódica, pois, qualquer que seja o número racional p, . Mas não existe um menor p positivo que satisfaça essa igualdade. Trata-se de uma função periódica, não constante, que não tem período.