222. Para n 1, determine, em função de n, de quantas maneiras podemos escolher 3 números distintos no conjunto {1, 2, 3,..., 3n} de modo que a soma dos números escolhidos seja divisível por 3.

(Generalização de um problema proposta no livro Análise Combinatória e Probabilidade da CPM - SBM)

223. Na figura os números indicam as áreas dos triângulos parciais. Qual a área total?
(Concurso do IME - Instituto Militar de Engenharia)

224. Dado k inteiro, k > 1, considere 2k bolas brancas e 2k bolas pretas alinhadas numa ordem qualquer. Mostre que existe uma seqüência de 2k bolas consecutivas na qual o número de bolas pretas é igual ao número de bolas brancas.

(Enviado por Cláudio Arconcher, Jundiaí, SP.)

225. Imagine dois segmentos de reta desenhados em uma folha de papel e tais que suas retas suporte se cortam num ponto fora da folha.
Seja P um ponto qualquer da folha de papel. Descreva e justifique um método para traçar a reta que passa por P e pelo ponto de encontro das retas suporte dos segmentos.

(Enviado por Marcelo Câmara, Recife, PE.)

1. Evandro e Augusto moram no mesmo edifício. O número do andar de Evandro coincide com o número do apartamento de Augusto e a soma dos números dos dois apartamentos é 56. Se cada andar tem 12 apartamentos, numerados de 1 a 12 no primeiro andar, de 13 a 24 no segundo e assim por diante, quais os números dos apartamentos de Augusto e Evandro?

(Adaptado de um problema proposto por Fernando Casagrande.)

2. Num concurso de televisão três concorrentes procuram acertar o número de caramelos contidos numa taça de cristal. José diz que há 260, Maria crê que há 274 e Carlota propõe que sejam 234. Sabe-se que um deles se enganou em 9 caramelos, outro em 17 e outro em 31. Pode-se deduzir qual o número de caramelos na taça?

(Tirado do Jornal de Matemática Elementar, No 218. Lisboa, setembro de 2003.)

3. 95% da massa de uma melancia de 10 quilos é constituída de água. A fruta é submetida a um processo de desidratação (que elimina apenas a água) até que a participação da água na massa de melancia se reduz a 90%. Qual é a massa da melancia após o processo de desidratação?         (FUVEST)

(Ver respostas na seção "O leitor pergunta")

Soluções dos problemas propostos na RPM 51

214. Considere que no retângulo ABCD, com e , existem duas circunferências e que satisfazem as condições:
tangente a AB e BC, tangente a AD e DC e e tangentes entre si externamente. Se os quadrados Q1 e Q2, com lados paralelos aos lados do retângulo ABCD, são circunscritos a e , respectivamente, prove que a área de pode ser dada apenas em função de a e b.

Solução
Os lados do retângulo podem ser calculados em função de a, b, R e r e são expressos por

e .

A área é, portanto,

A = [].[], isto é,

Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo de lados paralelos aos lados do retângulo ABCD e que possui os centros das circunferências como vértices, obtém-se

ou

que tem solução

Substituindo esse valor na expressão de A, obtemos a área em função de a e b escrita de várias maneiras diferentes. Algumas das expressões enviadas por nossos leitores são:

215.   Luís gastou todo o dinheiro que tinha em n lojas. Em cada loja ele gastou R$1,00 a mais da metade do que tinha ao entrar na loja. Determine, em função de n, quantos reais ele tinha ao entrar na primeira loja.

Solução
Para , seja o número de reais que Luís tinha ao entrar na j-ésima loja. Como na n-ésima loja ele gastou um real a mais da metade do que tinha ao entrar e ficou sem nada, segue-se que . O mesmo raciocínio nos permite afirmar que, se ele tem reais ao entrar numa loja, ao entrar na loja anterior ele teria . Segue-se que e que:

Portanto, é uma progressão geométrica com termos cujo primeiro termo é 4 e cuja razão é 2. A soma dos termos dessa progressão é dada por: .

Portanto, é o número de reais que Luís tinha ao entrar na primeira loja.
(Adaptada de soluções enviadas por vários leitores.)

216. Para n > 1, seja .

(a) Determine os valores de n para os quais é possível expressar como a reunião de dois conjuntos disjuntos tais que as somas dos elementos contidos em cada um deles sejam iguais.

(b) Para os valores de n, para os quais a representação é possível, mostre uma maneira que permita a determinação dos conjuntos.

Solução
A soma dos elementos de Sn é igual a e o problema terá solução somente quando essa soma for par, isto é, quando n ou forem múltiplos de 4. Nesses casos a solução existe sempre e não é necessariamente única, como se vê para , que admite as decomposições:

Uma maneira de determinarmos uma solução, quando ela existe, é encontrar o inteiro k tal que:

e em seguida observar que

Excluindo l do conjunto , obtemos uma solução.

Observações:

1) A técnica utilizada permite mostrar também que se, , existe um subconjunto de Sn cuja soma dos elementos é igual a m.

2) Como foi observado por alguns leitores, uma questão interessante seria determinar quantas soluções existem para um dado n.

217. Seja ABC um triângulo equilátero de lado 1, D um ponto na semi-reta com BD = 1. Considere os pontos E e F satisfazendo: A, E e F alinhados, E entre A e F e sobre a semi-reta , F na semi-reta com EF = 1. Calcule a medida do segmento AE.

Solução:
Sendo o triângulo BCD isósceles, temos a medida do ângulo igual a 30°, logo, o ângulo é reto. Traçamos . Pela semelhança dos triângulos FEG e FAC, temos , . Por outro lado,
sendo logo, .

Então, , o que implica , ou seja, .
(Solução enviada por Milton Dini Maciel, SP.)

Observação: A partir de um segmento unitário, é impossível construir com régua e compasso um segmento de comprimento . Porém, este problema oferece uma maneira prática, usando uma faixa de papel, de construir tal segmento. Assim, após a construção de um triângulo equilátero ABC de lado 1 e das semi-retas , marcamos nas beiradas de uma régua de papel dois pontos E e F com . Colocando tal régua de modo que passe por A e que , obtemos com medida .