José Paulo Carneiro - UERJ
Eduardo Wagner - FGV

O problema

Dentre todos os cilindros circulares retos de área total constante, qual é o de maior volume? Esse é um problema comum em livros ou cursos de Cálculo Diferencial (ver final do artigo). No entanto, uma professora do ensino médio fez a seguinte consulta aos autores deste artigo: será que ele pode ser resolvido por métodos "elementares", acessíveis a um aluno do ensino médio? Antes de tudo, lembramos que "elementar" não deve ser confundido com "fácil". Dizemos que a solução de um problema é elementar quando usa apenas ferramentas simples, mas a solução pode ser muito difícil e demandar tempo, experiência e criatividade.

Uma maneira de resolver

Sendo x o raio da base e y a altura do cilindro, o que se deseja é encontrar o  maior  valor  de V = x²y , para e , satisfazendo a condição: 2x² +2xy = C. Sem perda de generalidade, podemos colocar   C = 2a²,  onde  ,  ficando  a  condição  na   forma: x² + xy = a². Tirando o valor de e substituindo, queremos maximizar , para 0 < x < a, que é a condição para que y > 0.

Como f(0) = f(a) = 0 e f(x) = x(a² - x²) > 0 para 0 < x < a, o

problema recai em achar o máximo de f(x) no intervalo fechado e limitado I = [0; a]. É intuitivo que esse máximo existirá, e de fato sua existência está garantida por ser f contínua em I (Teorema do Valor Extremo).

Seja então b um valor de x para o qual f assume seu valor máximo em I, ou seja: f(b) - f(x) > 0, para todo x I. Essa condição traduz-se em: a²b - b³ - (a²x - x³) > 0, ou seja:

a²(b - x) + (x - b)(x² + bx + b²) > 0, ou ainda:

(x - b)(x² + bx + b² + a²) > 0 .

Como b < a, o trinômio x² + bx + b² - a² tem discriminante . Portanto, ele tem duas raízes reais e , de sinais contrários, pois . Então, a condição (*) fica: , onde

e .

Como é sempre positivo, a condição fica reduzida a:

(x - b)(x - x₁) > 0. Porém:

. Ou seja: .

Mas, então, a única maneira de satisfazer para todo é ter , pois, caso contrário, seria negativo para x entre b e . Logo: , ou seja, , implicando . Calcula-se então o correspondente valor de .

Conclusão: o volume máximo ocorre quando a altura do cilindro tem o mesmo comprimento que o diâmetro da base. Esse tipo de cilindro é conhecido como "cilindro equilátero", e sua seção por um plano que contém o eixo é um quadrado de lado .

Outra maneira de resolver

Note que .

Porém, pela desigualdade das médias (ver RPM 18, p. 43), se u, v e w forem números positivos, , a igualdade só ocorrendo quando .

Portanto:

, o que equivale a , o valor máximo sendo atingido quando , ou seja, , e , isto é: .

Observe o leitor que o segundo método é muito mais rápido, porque utiliza um instrumento muito mais poderoso (e mais difícil de justificar), que é a desigualdade das médias, enquanto o primeiro método só usa noções elementares sobre funções quadráticas. Tudo tem seu preço...

A resolução pelo Cálculo Diferencial

Usando conhecimentos de Cálculo Diferencial, calculamos as derivadas

obtendo-se que o gráfico de f é o da figura ao lado, sendo a única raiz de f'(x) em I.

Comparação dos métodos de resolução

Os dois primeiros métodos de resolução são engenhosos, mas podem parecer a alguns leitores "tirados da cartola". A cartola aqui é a experiência em resoluções de problemas. Mas é importante notar que, em que pese o mérito dessas resoluções criativas por métodos elementares, a tremenda simplicidade da solução pelo Cálculo Diferencial deve servir de estímulo aos leitores para se convencerem que vale a pena dedicar-se a essa disciplina. Para isso é que se aprendem as técnicas do Cálculo Diferencial. "Gasta-se" um tempo para adquiri-las, mas esse tempo é plenamente recuperado mais adiante na simplicidade com que se resolvem as aplicações. Novamente, tudo tem seu preço...

A lata de leite condensado

Para concluir, você sabia que a solução deste problema é usada em embalagens de produtos enlatados?

Pegue uma lata de leite condensado e tire as medidas do diâmetro da base e da altura. Você verificará que elas são iguais, e isso não é por acaso. Uma vez determinado o gasto do material que deve ser usado na fabricação da lata, a forma do cilindro equilátero é a que possui o maior volume.

Mas, historicamente, o que ocorreu foi o contrário. A fábrica de leite condensado Moça achava adequado vender seu produto em embalagens de 250 cm³ e procurava a forma da lata que gastasse o mínimo de material em sua fabricação. A solução desse problema contrário (mínimo da área total para um volume constante) é bem parecida com a que fizemos (fica como exercício para o leitor), e o resultado é o mesmo: o cilindro cuja altura é igual ao diâmetro da base.