José Cloves V. Saraiva

O elipsóide é um sólido geométrico cuja forma é muito próxima de uma melancia ou até mesmo de uma bola de futebol americano. Chamamos sua atenção para observar que, depois de cortar ao meio uma melancia, a parte vermelha com sementes tem um fino contorno verde da casca que parece com a forma geométrica da elipse. A elipse é caracterizada pêlos seus diâmetros máximo e mínimo, chamados de eixo maior e eixo menor e, por simetria, consideramos apenas as metades deles que chamamos de semi-eixo a e semi-eixo b.

E conhecida a equação cartesiana da elipse num sistema ortogonal com origem no seu centro de

Da mesma forma, o elipsóide com os seus três semi-eixos a, b e c tem equação cartesiana Particularmente, quando esses semi-eixos são iguais, a = b = c = r, o elipsóide tem a forma esférica de raio r.

O nosso problema é determinar o volume do elipsóide em função dos comprimentos dos seus semi-eixos. Esse é um problema de cálculo volumétrico, cubagem, que tem muita importância comercial e industrial.

Documentos históricos egípcios já apresentam a cubagem do tronco de pirâmide. Entretanto, foi o grego Eudóxio quem primeiro sistematizou um método para cálculos de áreas e volumes, o método da Exaustão, que depois de apresentado por Euclides no Elementos foi reformulado por Arquimedes, dando-lhe maior praticidade só melhorada no século XVI pelo astrônomo alemão Johannes Kepler, ao considerar áreas e volumes compostos de uma quantidade "infinita" de retas ou planos. Kepler abandonou as técnicas arquimedianas em troca dos elementos indivisíveis (infinitesimais) de forma já bastante próxima do que hoje usamos nos limites. Galileu Galilei usou essa técnica dos infinitésimos na determinação das leis da queda livre dos corpos, em 1683.

Embora Galileu tivesse tentado formalizar os infinitésimos, a tarefa só foi realizada pelo seu discípulo, o matemático italiano Bonaventura Cavalierí (1598-1647) nos seus livros Indivisibuius Continuorum Nova Quadam Ratione (1635) e Exercitationes Geometrical Sex (1647). Cavaliere admitiu que uma linha é feita de pontos, assim como um colar é feito de pequenas contas; um plano é feito de linhas, assim como um pano é feito de fibras e um sólido é feito de áreas planas, assim como um livro é feito de páginas.

O resultado principal deste artigo é obtido com o segundo princípio de Cavaliere, sem utilizar recursos de cálculo integral, tornando assim possível a leitura para alunos do ensino médio.

Cavaliere formulou dois princípios para sua metodologia de cálculo de áreas e volumes, que são os seguintes:

1. Se duas figuras planas inseridas entre um par de retas paralelas são tais que os comprimentos dos segmentos determinados sobre as figuras, por uma terceira reta paralela às primeiras, são sempre iguais então as áreas das figuras são iguais.

2. Se dois sólidos inseridos entre um par de planos paralelos são tais que as áreas das secções determinadas nos sólidos por um terceiro plano, paralelo aos primeiros, são sempre iguais, então os volumes dos dois sólidos são iguais.

Dizemos que dois sólidos que verificam o segundo princípio são Cavaliere equivalentes. Um exemplo está mostrado na figura: uma semi-esfera de raio R e o sólido formado por um cilindro reto com raio da base R, altura R do qual se subtraiu um cone de mesma base e altura.

Para obter o volume do elipsóide, usaremos o segundo princípio de Cavaliere e a fórmula conhecida da área da elipse E de semi-eixos a, b que é: área E_ab = _ab.