Um leitor pediu a solução deste problema, que constou do concurso acima:

Uma empresa mantém 40 unidades de um certo produto estocadas no depósito D₁ e 15 outras unidades do mesmo produto no depósito D₂. Devem ser enviadas 20 unidades desse produto para a loja do cliente A e 30 unidades para a loja do cliente B. Representam-se: por x, a quantidade desse produto existente no depósito D₁ que será enviada para a loja do cliente A; por y, a quantidade existente no depósito D₁ que será enviada para a loja do cliente B. Os gastos com transporte, por unidade do produto  (em R$), estão explicitados no quadro abaixo.

Com base nessa situação, julgue os itens a seguir.

1.  O custo do transporte desses produtos para as lojas será igual a x ^. 3y + 760 reais.

2. Todos os possíveis valores de x e y satisfazem quatro inequações que determinam, no plano de coordenadas cartesianas xOy, um trapézio.

3.  É possível para a empresa atender às solicitações dos clientes a um custo de R$675,00.

RPM: Eis um problema bem-contextualizado que pode ser resolvido com

a Matemática do ensino médio.

Este é um esquema do problema:

Se o depósito D₁ mandou x unidades para o cliente A, D₂ deverá mandar as 20 x unidades que faltam para completar o pedido. E, se o depósito D₁ mandou y unidades para o cliente B, D₂ deverá mandar as 30 y unidades que faltam para completar o pedido.

1. Os gastos com o transporte são:

T = x ^.15 + (20 x) ^. 14 + y ^. 13 + (30 y) ^. 16 = A = x 3y + 760

2. As quatro inequações são

A última desigualdade decorre de
20 x + 30 y 15.
As relas x + y = 35   e   x + y = 40 formam as bases do trapézio.

3. T = x 3y + 760 = 675 3y x = 85 . Desenhando a reta  3y x = 85 , observa-se que ela corta o trapézio no vértice (5, 30).

Portanto, a resposta é: sim, para  x = 5   e   y = 30 .

A solução do problema depende da definição adotada.

a) Stewart: A ={1,2} e  B ={1,2, 3, 4}. Escolhemos dois elementos distintos de B, a e b, com a<b. Cada escolha define uma função crescente dada por f(1) = a e f(2) = b. Há C_4,2 = 6 escolhas. Portanto, há 6 funções crescentes.

a) Cuidorizzi. O número de funções crescentes é C_4,2 + 4 = 6 + 4 = 10, pois devemos incluir as escolhas  f(1) = f(2) = a, 1 a 4.

b)  Stewart. Existem C_n,3 funções crescentes.

b) Guidorizzi. Existem  C_n,3 + n + 2C_n,2  funções crescentes, pois devemos incluir as n, funções constantes,  f(1) = f(2) = f(3) = a,  1 a n  e, escolhidos dois elementos distintos de B, a e b com a < b, teremos duas funções crescentes distintas:
 f(1) = f(2) = a,    f(3) = b   e    f(1) = a,   f(2) = f(3) = b.

Um leitor de Maceió pediu a solução do problema abaixo, apresentado numa palestra para professores:

Considere uma classe de 27 alunos e que a nota média de uma prova realizada por esses alunos tenha sido 1,875. Sabendo que as notas foram dadas de 0,25 em 0,25, qual é o número máximo de alunos que podem ter conseguido 3,75, uma vez, que apenas dois alunos conseguiram a nota mais alta, que foi 4,25?

RPM: O problema, com esses dados, não tem solução. Vejamos por quê. Vamos chamar as notas dos alunos de  n₁,n₂,... , n₂₇. Então,
 

Mas todas as notas são múltiplos inteiros de 0,25, isto é, a soma no primeiro membro é um múltiplo inteiro de 0,25, enquanto, no segundo membro, 42,125 não é um múltiplo inteiro de 0,25. Logo, a situação descrita é impossível.
 

 

O baile

Um leitor do Pará mandou este problema, também contextualizado:

Numa festa, um grupo de homens e mulheres decide dançar da seguinte maneira: o primeiro homem dança com 5 mulheres, o segundo homem dança com 6 mulheres e assim sucessivamente, até que o último homem dança com todas as mulheres. Se há 10 homens, quantas vezes, em média, cada mulher dançou?

RPM: Na festa há 10 homens: h₁ , h₂, . . ., h₁₀.

h₁ dança com 5 = 4 + 1 mulheres

h₂ dança com 6 = 4 + 2 mulheres

..................................

h₁₀ dança com 4 + 10 = 14 mulheres, que são, segundo o enunciado, todas as mulheres.

 Um leitor da Bahia pediu a alternativa correta de um teste do vestibular da UNEB 2002. A questão é a seguinte:

"É suficiente o Brasil não se classificar para a Copa do Mundo, para o técnico ser demitido e os torcedores ficarem infelizes."

A negação da proposição em destaque é:

a) Se o Brasil se classificar para Copa do Mundo, nem o técnico será demitido nem os torcedores ficarão infelizes.

b) O Brasil não se classificou para a Copa do Mundo e o técnico não foi demitido ou os torcedores não ficaram infelizes.

c) O Brasil se classificou para a Copa do Mundo e nem o técnico foi demitido nem os torcedores ficaram infelizes.

d) É suficiente o Brasil se classificar para a Copa do Mundo para o técnico não ser demitido ou os torcedores ficarem felizes.

e) O Brasil não se classificou para a Copa do Mundo, o técnico foi demitido e os torcedores ficaram infelizes.

RPM: Em discussões envolvendo futebol é sempre mais seguro, se possível, prender-se rigidamente ao formalismo da lógica. Os fatos a serem usados São (ver RPM 17, pp. 10-18; RPM 37, pp. 1-10):

(1) "P é suficiente para Q" é equivalente a "se P então Q" que é equivalente a "~ P Q",

(2) ~ (P Q)  é equivalente a ~ P ~Q,  também ~ (P Q) é equivalente a ~ P ~ Q.

Vamos dar nomes às proposições do problema:

p : Brasil se classifica;                  ~ p : Brasil não se classifica;

q: Técnico fica;                            ~ q : Técnico é demitido;

r : Torcedor fica feliz;                   ~ r : Torcedor fica infeliz.

A sentença dada, em símbolos, é: se ~p então (~ q ~ r) ou, de modo equivalente, p (~ q ~ r).

A negação dessa sentença é : ~ p (q r). Escrevendo essa sentença em português, temos:

O Brasil não se classifica e o técnico fica ou o torcedor fica feliz. Essa sentença é a alternativa b) que pode ser interpretada como :

"O Brasil não se classificou para a Copa do Mundo e: ou técnico não foi demitido ou os torcedores não ficaram infelizes ."

Quem gosta desse tipo de argumento, poderá examinar as outras alternativas e constatar que nenhuma delas é equivalente a  ~ p (q r).

Um leitor do Paraná pediu ajuda para resolver o seguinte problema:

Demonstrar que x⁹⁹⁹ + x⁸⁸⁸ + . . . + x¹¹¹ + 1 é divisível por

x⁹ + x⁸ +. . . x + 1

RPM:

A idéia é provar que todas as raízes do polinómio x⁹ + x⁸ +. . . x + 1 são também raízes do polinómio xx⁹⁹⁹ + x⁸⁸⁸ + . . . + x¹¹¹ + 1, o que garante a divisibilidade.

Observemos, inicialmente, que:

Suponhamos que a seja uma raiz do polinômio x⁹ + x⁸ +. . . x + 1, isto é, que a seja uma solução de x⁹ + x⁸ +. . . x + 1 = 0.

Então, a 1 e a é raiz de  x¹⁰ 1 = 0, isto é,  a 1  e  a¹⁰ = 1.

Portanto,  (a¹⁰)¹¹¹=1¹¹¹ =1,  ou seja, a é raiz de  x¹¹¹⁰ 1 = 0.

Falta provar que a não é raiz de  x¹¹¹ 1 = 0 para então concluir que a é raiz de x⁹⁹⁹ + x⁸⁸⁸ + . . . + x¹¹¹ + 1 = 0.

Mas a¹¹¹ = a^{110 .} a = a 1.  É isso conclui a demonstração.