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218. Dados m e n inteiros
positivos, considere um retângulo, de base m e altura n,
quadriculado
219. Dados x e y números
inteiros positivos, mostre que, se x2 + y2 + xy é
divisível por 10 então é divisível por 100.
221. Denotando por [x] o maior inteiro menor ou igual a x, determine para que valores de x cada uma das igualdades abaixo é verdadeira
:
1. A média das idades dos elementos de uma
equipe de uma feira de ciências é 14,625. Qual é o menor número de
elementos que podem constituir a equipe?
(Ver respostas na seção "O leitor pergunta")
210. Mostre que, se a, b, c são números inteiros ímpares, então a equação ax2bx+c=0 não tem raízes racionais. Solução
Se existe uma
raiz racional, temos b2 > 4ac e também temos que b2
211. Numa classe com 12 alunos, o professor escreveu na lousa um número natural menor que 50 000 e pediu que os alunos falassem alguma coisa a respeito dele. O primeiro aluno disse que o número era múltiplo de 2, o segundo disse que o número era múltiplo de 3 e assim sucessivamente até o último, que disse que o número era múltiplo de 13. Em seguida o professor disse que, com exceção de dois alunos consecutivos que erraram, todos os demais acertaram. a) Quais foram os alunos que erraram? b) Qual foi o número que o professor escreveu? Justifique suas respostas. Solução
Analisando os
pares de números consecutivos, 2 e 3; 3 e 4; 4 e 5; 5 e 6; 6 e 7; 9 e 10; 10 e 11;
11 e 12; 12 e 13, é fácil verificar que se dois alunos
consecutivos erraram ao afirmar que o número era múltiplo de um desses
pares, então o número de alunos que erraram seria maior que 2. Restam,
portanto, os pares 8 e 9 e 7 e 8 e o par que produz um número menor que 50 000 é o
par 7 e 8 ao qual corresponde o número 25 740.
212.
Seja Solução Seja
Na figura à direita, temos
(Solução adaptada das soluções enviadas por diversos leitores.) 213. Em um triângulo acutângulo ABC, sejam P e Q os pés das alturas relativas aos lados AB e AC respectivamente, M o ponto médio de BC e D a intersecção de CP e BQ. Prove que:
a) a circunferência
c) as circunferências determinadas por
CQM, BPM e Solução
a) Como
b) O
triângulo POA é isósceles e, se
c) Seja K o segundo ponto de encontro de
Concluímos, então, que as três circunferências concorrem em K. (Solução adaptada das soluções enviadas por João F. de Moura e José Cláudio M. Veloso.) Obs.: Alguns leitores observaram, corretamente, que o item c) pode ser provado sem referência ao ponto médio M.
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220.
Considere duas retas paralelas que distam a entre si e um quadrado
ABCD, de lado a, situado no plano das paralelas numa posição
tal que os vértices A e C estejam em lados opostos do plano dividido pela
faixa das paralelas.
2. No Jardim dos Números, os algarismos
a e b passeavam a
uma velocidade constante. Às
14:00 h já tinham percorrido
ab metros, às 14:42 h
ba metros e às 15:00 h
a0b
metros. 
Sabendo que no número a0b o algarismo das
dezenas é zero, mas o das
centenas não, a «que horas começou o passeio? 
pedem ajuda a dois meninos que estão passando pelo rio num
barco. Porém, o barco é tão pequeno que nele só cabem os dois meninos ou
um soldado de cada vez. Como eles fizeram para todos os soldados
atravessarem o rio? 
4ac
é um quadrado perfeito m2. Sendo b ímpar,
b2 é ímpar e, como 4ac é par, temos b2
uma parábola com foco F e seja PQ um segmento que contém
F, com P e, Q pertencentes a
+
= 90°. Assim P
Q é um ângulo reto. Queremos mostrar agora
que C 
ACP
+
=180°, o quadrilátero
APQD é inscritível; logo, a circunferência determinada por APQ
passa por D.
= 90°
P ou B
P com
M.
D é
90° 
M = 90°
Q =
180°
e, medida P
Q = 180°
, o que implica medida P
M =
+
e, como
+
+
=180°,
segue que BPKM é inscritível e, assim, a circunferência determinada
por B, P e M também passa por K.