Marcelo Polezzi
 UEMS, MS
 mpolezzi@terra.com.br

Há algum tempo atrás tive a oportunidade de ler dois artigos interessantes na RPM (ver [1] e [2]), os quais tratam de encontrar métodos geométricos para calcular o MDC e o MMC entre dois números. Fiquei entusiamado e percebi que poderia produzir um novo método, espantosamente simples, que permitisse obter, quase ao mesmo tempo, o MDC e o MMC.

O método baseia-se essencialmente em um artigo que publiquei (ver [3]), que traz uma fórmula explícita para o MDC e o MMC entre dois números. Meu objetivo agora é mostrar como se obtém o MDC e o MMC usando apenas contagem.

 

     O método

1. Considere um retângulo de lados com medidas inteiras a e b, dividido em quadradinhos unitários.

2. Trace uma das diagonais do retângulo marcando-a nos pontos que são vértices de algum quadradinho unitário.

3. Conte em quantas partes esses pontos dividem a diagonal: esse número d é o MDC(a,b).

4. Trace linhas verticais (horizontais) passando por cada um dos pontos que você marcou, unindo dois lados opostos do retângulo. Conte o número de quadradinhos unitários existentes em qualquer um dos d retângulos determinados por essas linhas verticais (horizontais): esse número m é o MMC(a,b).

A figura a seguir ilustra o procedimento para a = 12 e b = 21.

A diagonal está dividida em três partes iguais, logo, 3 = MDC(12,21).

O número de quadradinhos existentes em qualquer um dos três retângulos é 7 x 12, logo 84=MMC(12,21).

 


     Justificativa


Se d = MDC (a,b), existem inteiros u e v tais que a = du e b = dv, com u e v primos entre si.

Considerando um sistema de eixos ortogonais com a origem num dos vértices do retângulo, como na figura, a equação

 

seja, d + 1 pontos de coordenadas inteiras, igualmente espaçados.

Para verificar que são apenas esses os pontos da diagonal com coordenadas inteiras, que implica  qu = vp e, sendo mdc(u, v) = 1, vem que q = rv e p = ru, com .

Logo, a diagonal fica dividida em d pedaços iguais.

Como os d + 1 pontos são igualmente espaçados, os d retângulos obtidos no item 4 têm a mesma área m. Logo, md = ab, o que mostra que m = MMC(a, b), e m é também o número de quadradinhos contido nos retângulos.

 

Observação: Se o interesse for calcular apenas o MMC, basta traçar uma linha vertical passando pelo ponto descrito no item 2 que seja o mais próximo do vértice superior atingido pela diagonal e contar os quadradinhos existentes no menor retângulo determinado por essa linha vertical.

 

Referências bibliográficas

[1]  CARDOSO, M.L.GONÇALVES, O.A. Uma interpretação geométrica do MMC. RPM 32, p. 27-28.

[2]  OLIVEIRA, Z.C. Uma interpretação geométrica do MDC. RPM 29, p. 24-26.

[3]  POLEZZI, M. A geometrical method for finding an explicit formula for the greatest common divisor, The American Mathematical Monthly, vol 104, N5, p. 445-446, 1997.