Em um triângulo qualquer, ABC:

1. P é o ponto de encontro da bissetriz do ângulo BAC com a mediatriz do lado BC; Q é o ponto de encontro dessa mediatriz com o lado BC.

2. R é o ponto de encontro, com o lado AB, da perpendicular a esse lado traçada por P; a perpendicular ao lado AC, a partir do ponto P, cruza esse lado no ponto S. A figura ilustra a construção.

A partir desse desenho simples, é possível obter um resultado matemático surpreendente. Vejamos.

(i)  Os triângulos APR e APS são congruentes, pois são retângulos, possuem um ângulo em comum (P está sobre a bissetriz do ângulo BAC) e a mesma hipotenusa. Assim, tem-se RP =PS e AR =AS.

(ii)  BP=PC, pois, como PQ está sobre a mediatriz de BC, temos BQ = QC e, como (Pitágoras já sabia) dois triângulos retângulos com os mesmos catetos possuem a mesma hipotenusa, os triângulos PQB e PQC são congruentes.

(iii)  BPR e CPS são triângulos congruentes, pois são retângulos, possuem a mesma hipotenusa (i) e um cateto igual (RP=PS), logo (Pitágoras), RB=SC.

O que interessa em tudo isso?

Ora, de AR = AS e RB = SC, obtemos AB = AC. Trocando em miúdos, o triângulo ABC, inicialmente qualquer, é isósceles! O que Euclides não viu em sua geometria é que todos os triângulos são isósceles; assim, triângulos escalenos são mera ilusão de ótica (ou idiótica?).

E tem mais! Se tivéssemos construído a figura com a bissetriz do ângulo ABC e a mediatriz do lado AC, com o mesmo raciocínio, teríamos provado que AB =BC. Logo, AB =AC =BC e o triângulo é equilátero!

Conclusão final: Todos os triângulos são equiláteros.   (veja p. 51)

Enviado por Reínaldo Gen Hishiro Arakaki.