Consta que Tales teria demonstrado que dois ângulos opostos pelo vértice são iguais, em um triângulo isósceles os ângulos da base são iguais, qualquer ângulo inscrito em um semicírculo é reto e qualquer diâmetro divide o círculo em duas partes iguais, além do caso lado-ângulo-lado da igualdade de triângulos. É por essa razão que Tales é considerado o pai da Matemática dedutiva e a Jônia o berço da Matemática grega.

A cerca de 50 km de Mileto, na ilha jônia de Samos, por volta de 580 a.C., nasceu Pitágoras. Não sabemos se Pitágoras e Tales algum dia se encontraram, mas isso pode ter ocorrido porque viveram em lugares próximos e o primeiro teria cerca de 20 anos quando o segundo morreu. Não há dúvidas, entretanto, de que Pitágoras foi influenciado pela escola de Tales, em Mileto.

Pitágoras também esteve no Egito e, por desavenças com o tirano Polícrates, de Samos, mudou-se para Crotona, ao sul da península Itálica, onde fundou, por volta de 540 a.C., uma sociedade voltada ao estudo da Filosofia, das Ciências Naturais e da Matemática. Rapidamente, os membros dessa sociedade apaixonaram-se pelos números e pelas formas, passando a vê-los por toda a parte e concluindo que o Universo era regido por uma inteligência superior, essencialmente matemática.

Na Geometria deram demonstração geral a vários teoremas, em especial ao que veio a ser denominado Teorema de Pitágoras, conhecido, sem prova, séculos antes, por egípcios, chineses e mesopotâmios. Descobriram os números amigos e números perfeitos, sabiam somar progressões aritméticas e conheciam o cubo, o tetraedro e o dodecaedro (o octaedro e o icosaedro foram descobertos dois séculos depois, por Teeteto).

A idéia de que a Matemática trata de conceitos abstratos, acima da realidade física, a crença em que o mundo físico pode ser estudado através da Matemática e a concepção de Deus como o Grande Arquiteto do Universo são legados pitagóricos que sobrevivem até hoje.

O maior feito teórico dos pitagóricos foi a descoberta dos irracionais, mas seu mérito máximo consiste em haverem provocado uma verdadeira epidemia de interesse pela Matemática, que contagiou a maioria das cidades-estados da Grécia de então.

Com as brilhantes vitórias sobre os persas em 490 a.C. e 480 a.C., Atenas tornou-se um centro intelectual e artístico ao qual dirigiu-se um grande número de homens de valor. A filosofia jônia foi levada a ela em 462, por Anaxágoras, de Clazômene, que afirmava que o Universo era um sistema organizado de matéria e que a força que o fazia mover-se era um processo mental semelhante ao da inteligência. Desse período datam os famosos Três Problemas Clássicos: a quadratura do círculo, a duplicação do cubo e a trissecção do ângulo.

Nessa mesma época, em algum lugar do mundo grego, devem ter surgido o método de demonstração "por redução ao absurdo" e a percepção de que nem tudo pode ser provado, sendo necessário admitir sem demonstração alguns postulados ou axiomas.

Em Eléia, na Magna Grécia, o filósofo Zenão, cerca de 450 a.C., produzia seus paradoxos raciocinando sobre o infinito. Por volta de 430 a.C., o geômetra Hipócrates, de Quios (não confundir com o pai da Medicina, Hipócrates, de Cós), transferiu-se para Atenas e passou a ensinar Geometria, reunindo seus conhecimentos, próprios e de outros, em uma obra logicamente concatenada, considerada precursora dos Elementos, de Euclides.

Infelizmente, a Guerra do Peloponeso, entre Atenas e Esparta, iniciada em 431 a.C. e terminada em 404 a.C. com a derrota da primeira, truncou o desenvolvimento cultural da Grécia.

Durante o conflito, em 427 a.C., nasceu em Atenas um menino de nome Arístocles, que, mais tarde, veio a ser conhecido como Platão. Platão fora discípulo e amigo do filósofo Sócrates, este um crítico dos maus hábitos e dos governos de Atenas, o que causou sua condenação à morte, em 399 a.C. Compreendendo que Atenas havia perdido a liberdade de pensamento, Platão deixou-a e foi viajar pelo mundo helênico, dedicando-se ao comércio e ao estudo por vários anos. Em Cirene estudou Geometria com o velho Teodoro e em Tarento tornou-se amigo do rei-geômetra Árquitas, com quem aprendeu a matemática dos pitagóricos.

Por volta de 387 a.C., retornou a Atenas e, em um local denominado Jardins de Academus, fundou sua famosa Academia, onde ensinou até morrer, em 347 a.C., aos 80 anos. Platão tinha plena consciência da importância do raciocínio matemático e fez escrever no portal de sua escola a célebre frase: "Que não entre neste local alguém ignorante em Geometria".

Mais do que isso, ali reuniu um grupo de excelentes geômetras, como Têudio, de Magnésia, Âmiclas, de Heracléia, Menecmo e seu irmão Dinostrato, de Atenas, Ateneu, de Cízico, Hermótimo, de Cólofon, e Teeteto, de Atenas. O livro-texto utilizado na Academia fora escrito por Têudio, certamente aproveitando parte dos trabalhos feitos décadas antes por Hipócrates. Nessa época, meio século antes de Euclides, já era empregada a expressão Elementos de Geometria. Muito se avançou, mas continuavam de pé dois grandes desafios: os Três Problemas Clássicos e a parte da Teoria das Proporções envolvendo grandezas incomensuráveis.

Logo no início da Academia, Platão recebeu um humilde aluno de nome Eudóxio. Nascido em Cnidos (Jônia) em 408 a.C., e decidido a encontrar a sabedoria, mudou-se para Atenas atraído pela fama de Platão e sua escola. Extremamente pobre, todos os dias caminhava sete quilômetros até a Academia para ali conversar e aprender com os sábios. Não cabe aqui entrar em detalhes, mas Eudóxio resolveu a questão das proporções envolvendo incomensuráveis e, com isso, tornou-se um dos grandes de todos os tempos. Seu raciocínio foi tão brilhante que, em essência, foi o mesmo utilizado dois milênios mais tarde por Dedekind e Weierstrass na elaboração da teoria dos números reais.

Tão ou mais importante que a Teoria das Proporções foi o tratamento dado por Eudóxio ao chamado Método da Exaustão. A quadratura do círculo era uma questão que vinha intrigando os matemáticos havia muito tempo, tanto que no papiro de Ahmes (1650 a.C.) encontra-se um método aproximado de realizá-la. O primeiro progresso teórico real no caminho de sua solução parece ter sido dado pelo filósofo sofista Ântifon (cerca de 430 a.C.), que afirmou que, inscrevendo-se um polígono regular em um círculo, a diferença entre as áreas de ambos poderia ser exaurida à medida que o número de lados fosse sendo duplicado. Ântifon não conseguiu levar adiante sua idéia, mas agora sabemos que ela foi brilhante e era a chave da questão, conceituando aquilo a que hoje denominamos limite.

Em seus estudos sobre os irracionais e sobre a exaustão, Eudóxio enunciou um postulado segundo o qual dadas duas grandezas A e B, de mesma espécie, sendo A< B, existe sempre um número inteiro n tal que nA>B.

Esse postulado é conhecido como postulado de Eudóxio-Arquimedes, porque o primeiro o criou e o segundo o utilizou intensamente.

Com base nele, Eudóxio provou que, dadas duas magnitudes da mesma espécie, A e e, sendo e tão pequena quanto quisermos, se subtrairmos de A uma quantidade maior que sua metade, do resto outra maior que sua metade e assim por diante, chegar-se-á, finalmente, a um resto menor do que e.

Com isso, pôde-se demonstrar que a duplicação sucessiva do número de lados de um polígono inscrito exaure o círculo, que a área de um círculo é proporcional ao quadrado de seu raio e que pirâmides de bases triangulares e mesma altura têm volumes proporcionais às áreas das bases (afirmações feitas, respectivamente, por Ântifon, Hipócrates e Demócrito, mas provadas por Eudóxio). Eudóxio não soube calcular o coeficiente de proporcionalidade entre as áreas dos círculos e os quadrados dos raios (o célebre ), mas abriu as portas para que, mais tarde, alguém o fizesse.

Em 338 a.C., Filipe II, da Macedônia, submeteu o mundo grego a seu comando unificado. Esse monarca era grande admirador da cultura grega e, anos antes, já havia decidido educar seu filho, Alexandre, de acordo com ela. Assim, contratou Aristóteles, o maior gênio da Academia, o criador da Lógica, como tutor do rapaz por três anos.

Também da Academia, Menecmo, o criador das seções cônicas, foi designado professor de Matemática de Alexandre. Em 336, com apenas 20 anos, Alexandre sucedeu-o no trono, disposto a realizar o sonho do pai: conquistar o Império Persa. Isso foi conseguido através de uma campanha memorável e, em 332 a.C., o Egito submeteu-se ao Macedônio que, no mesmo ano, ali fundou Alexandria. Décadas depois, aquela cidade veio a tornar-se o maior centro cultural da Terra, reunindo, no que hoje chamaríamos de Universidade, os melhores intelectos do mundo grego. E foi ali que, por volta de 300 a.C., floresceu um homem de cuja vida pouco sabemos, mas que nos legou uma das maiores obras-primas do espírito grego: Euclides, autor dos 13 livros dos Elementos.

Desconhece-se de onde veio Euclides e quando nasceu e morreu. É provável que tenha estudado na Academia, em Atenas, mas não há provas. O fato é que os Elementos constituem um magistral trabalho de síntese, ordenamento e aperfeiçoamento de tudo o que havia sido feito desde Tales, os pitagóricos, os pré-platônicos e os geômetras da Academia. Ao contrário do que algumas pessoas pensam, os Elementos não cobrem apenas a Geometria: uma boa parte da obra trata da Aritmética e de aspectos daquilo a que hoje chamamos Álgebra. Ali se encontram algumas das mais preciosas jóias do pensamento matemático de todos os tempos: o método para calcular o máximo divisor comum entre dois ou mais números (o chamado Algoritmo de Euclides), o teorema da infinitude dos números primos, a forma de determinar todas as trincas pitagóricas primitivas (a, b e c tais que a² = b² + c²), o método para somar números em progressão geométrica e, o mais espantoso, a regra para encontrar números perfeitos.

O maior dos discípulos da Universidade foi Arquimedes, nascido em Siracusa, na Sicília, por volta de 287 a.C. Tendo estudado em Alexandria, retornou a sua cidade e continuou a manter contato com os sábios da Universidade, comunicando suas descobertas e trocando conhecimentos. Ao final de sua vida, havia estendido as fronteiras da Matemática muito além daquilo que havia recebido de Euclides e, através de um acervo de brilhantes façanhas, conquistara a indiscutível reputação de o maior gênio da Antigüidade.

Enquanto muito dos Elementos, de Euclides, foram compilações, extensões e aperfeiçoamentos de trabalhos feitos por outros, cada obra de Arquimedes foi uma contribuição original ao conhecimento físico ou matemático. Algumas muito importantes chegaram quase intactas até nós: Sobre o equilíbrio de figuras planas, Sobre a esfera e o cilindro, sobre espirais, sobre conóides e esferóides, sobre corpos flutuantes, A medida do círculo, A quadratura da parábola, O contador de grãos de areia e O método.

Sabe-se que várias obras foram perdidas, uma delas de nome Sobre alavancas, a respeito das quais ele dissera: "Dai-me um ponto de apoio e moverei o mundo". No pequeno tratado A medida do círculo, resolveu magistralmente antigos problemas relativos à circunferência, demonstrando que os coeficientes de proporcionalidade entre o perímetro da circunferência e seu diâmetro e a área do círculo e o quadrado de seu raio são iguais ().

Em seguida, utilizando duas fórmulas de recorrência por ele desenvolvidas e que permitem a duplicação sucessiva do número de lados de polígonos regulares inscritos e circunscritos,
 

No tratado Sobre a esfera e o cilindro determinou a superfície da esfera, algo sobre o que até Euclides mantivera-se silencioso, provando pelo método da exaustão que ela é igual a 4 vezes a área do círculo máximo. Depois, trabalhando com um cilindro reto, um cone e uma esfera nele
(Ver RPM 10, p.11.)

Em A quadratura da parábola, por um raciocínio que antecipou em 19 séculos o Cálculo Integral, determinou a área de um segmento daquela cônica. No originalíssimo O contador de grãos de areia, criou um sistema de numeração com o qual declarou-se capaz de exprimir números tão grandes quanto o de todos os grãos de areia do Universo, analogamente ao que fazemos hoje com potências de 10. Arquimedes morreu em 212 a.C., assassinado por um soldado quando os romanos tomaram Siracusa, durante a segunda Guerra Púnica.

Outro gênio da Universidade foi Aristarco, de Samos, que viveu entre 310 a.C e 230 a.C. Acima de tudo um astrônomo, seu maior feito foi haver concluído que a Terra e os planetas giram em torno do Sol, que a Terra gira em torno de seu eixo e que este é inclinado, o que causa as 4 estações.

Através de cálculos geométricos, fez estimativas imprecisas mas pioneiras sobre os tamanhos do Sol e da Lua e de suas distâncias à Terra.

Da mesma época e discípulo da Universidade foi Apolônio, de Perga, nascido por volta de 262 a.C. e conhecido como O Grande Geômetra. Escreveu importantes tratados, mas é por sua obra-prima, Cônicas, que é mais lembrado. Aquele trabalho, em oito livros, contendo 487 proposições, analisa a elipse, a hipérbole e a parábola com o rigor característico dos mestres gregos e foi muito usado por Newton quando escreveu os Principia.

Também contemporâneo de Arquimedes e Apolônio foi Eratóstenes. Diretor da Biblioteca de Alexandria, Eratóstenes era, também, excelente poeta, crítico literário, geógrafo, matemático e atleta. É dele o famoso Crivo de Eratóstenes, para "peneirar" os números primos dentre os naturais, mas sua maior façanha foi haver calculado, com boa precisão, o tamanho do círculo máximo da Terra através da análise das sombras projetadas por colunas verticais localizadas nas cidades de Alexandria e Siena (ver RPM 1).
A Idade de Ouro da Universidade foi atingida com Euclides, Apolônio, Eratóstenes e Arquimedes e, a partir daí, sua produção matemática entrou em declínio. Mesmo assim, Hiparco, que viveu entre 180 a.C. e 125 a.C. e que foi um grande astrônomo, fez algo inovador ao produzir uma tabela de cordas, considerada precursora das atuais tabelas trigonométricas.

Em 58 a.C., o Egito tornou-se uma espécie de protetorado romano, embora mantendo o rei Ptolomeu XI. Sua filha, a célebre rainha de sangue grego Cleópatra, tentou reconquistar a autonomia de seu país através de romances com Júlio César e Marco Antônio, mas Otaviano, o Imperador Augusto, levou-a ao suicídio e anexou o Egito como província de Roma.

A contribuição romana à Matemática foi literalmente zero e o declínio da Universidade de Alexandria continuou com mais intensidade. Somente na segunda metade do século I d.C. algo importante aconteceu, com o famoso Herão de Alexandria realizando excelentes trabalhos em Física e Geometria, sendo creditada a ele a fórmula que permite calcular a área de um triângulo conhecidos seus três lados.

No final do século I viveu, em Alexandria, Menelau, que não só continuou os trabalhos de Hiparco em trigonometria, mas demonstrou interessantíssimo teorema, que leva o seu nome.

Entre 85 d.C. e 165 d.C., Alexandria produziu o grande geômetra e astrônomo Cláudio Ptolomeu, que avançou no estudo da trigonometria, demonstrou importante teorema sobre quadriláteros inscritíveis e escreveu o mais completo tratado de Astronomia da Antigüidade, chamado de Almagesto ( "O maior de todos") pelos árabes.

Entre 250 d.C. e 350 d.C. a Universidade viveu sua Idade de Prata, caracterizada por dois grandes matemáticos. O primeiro foi Diofanto (cerca de 250 d.C.), de quem pouco se sabe, mas que nos legou um grande tratado chamado Aritmética, sem dúvida a maior obra da Antigüidade sobre o tema. Aliás, foi de um comentário de Fermat (século XVII) escrito sobre uma das margens do livro de Diofanto que surgiu o famosíssimo "Último Teorema de Fermat", somente demonstrado em 1993.
O segundo foi Papus, que, por volta de 320 d.C., compôs um vasto tratado com o título Synagoge (Coleção Matemática). Papus descobriu vários teoremas precursores da Geometria Projetiva, pesquisou o chamado Problema de Dido (ou Isoperimétrico) e, curiosamente, demonstrou que, dentre as formas que as abelhas poderiam ter empregado para fazer seus favos, a adotada é a que mais economiza cera.

Por volta de 390 d.C., viveu em Alexandria um geômetra de nome Têon, tornado famoso por haver comentado o Almagesto e feito uma revisão dos Elementos, então com 700 anos, na qual se basearam as publicações modernas da obra de Euclides. Têon tinha uma filha de grande talento filosófico e matemático, chamada Hipácia, e que é considerada a primeira grande mulher na História da Matemática (ver RPM 30). Seu assassinato, por fanáticos religiosos, em 415 d.C., simbolizou o fim do predomínio de Alexandria, depois de sete séculos, como um centro do saber, e embora a Universidade tenha continuado a existir até a tomada de Alexandria pelos árabes, em 641 d.C., mais nada de valor foi por ela produzido.

A Academia de Platão, de onde tanta luz matemática emanara no século IV a.C., teve fim semelhante: em 529 d.C., os cristãos conseguiram um decreto do imperador Justiniano, obrigando-a a fechar suas portas para sempre, após mais de 9 séculos de existência. Quase um milênio teve que transcorrer até que, no Renascimento, a Europa redescobrisse as maravilhas da Matemática grega.