Tomas Edson Barros Ademir Cristovão Lucchiari Um problema interessante de construção com régua e compasso é o da construção de um polígono regular de n lados, , inscrito numa circunferência de raio R, o qual é equivalente ao problema a seguir.        Problema 1: Dividir uma circunferência de raio R, com régua e compasso, em n arcos de mesmo comprimento. É muito simples a resolução do problema acima para . Para n = 5 , a solução (também simples) está atrelada à razão áurea. Para n = 7 existem apenas soluções aproximadas (veja, por exemplo, RPM 17, p. 19), situação que ocorre também com muitos outros valores de n, tais como n = 9, 11, 13 e 14, para os quais não existe construção exata. A constatação desses fatos foi uma das primeiras descobertas de um dos maiores matemáticos de todos os tempos, Carl Friedrich Gauss, o qual provou, em 1796, com apenas 19 anos de idade, que o Problema 1 possui solução se, e somente se, n = 2m ou n = 2m p1 p2 . . . , pk, sendo m um número natural e p1 p2 . . . , pk primos de Fermat distintos, ou seja, primos da forma (RPM 4 p. 1-3 e RPM 7 p. 23-25). Como F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, conclui-se que não existe  q N  tal que 7 = Fq e, portanto, não é possível dividir com régua e compasso uma circunferência de raio R em sete arcos de mesmo comprimento. Com análise semelhante conclui-se o mesmo para   n = 9, 11, 13 e 14, bem como para uma infinidade de valores de n. Um problema correlato ao Problema 1 é o seguinte:         Problema 2:  Dividir um disco de raio R, com régua e compasso, em n regiões com mesma área. Notamos que, se o Problema 1 possui solução para um certo n, então o Problema 2 também possui solução para esse mesmo n, sendo as regiões de mesma área os setores circulares do disco, determinados pela divisão da circunferência em n arcos de mesmo comprimento. Os arcos possuem mesmo comprimento e os setores possuem mesma área. No entanto, não é óbvio que a impossibilidade de resolução do Problema 1, para um determinado n, implica que o Problema 2 não possui solução para o mesmo n, pois: para a divisão da circunferência em arcos de mesmo comprimento, precisamos determinar pontos da circunferência igualmente espaçados; já na divisão do disco, a marcação desses pontos fornece uma das possibilidades de divisão em regiões de mesma área. A princípio, sem uso da régua e compasso, temos diversas outras maneiras de dividir o disco em regiões de mesma área e existe, portanto, a chance de que uma dessas maneiras possa ser executada através de construções com régua e compasso. Tal problema surgiu numa aula da disciplina Ensino da Matemática através de problemas, no Departamento de Matemática da UFSCar, na qual um grupo de alunos propôs à classe alguns problemas de divisão de figuras planas em regiões de mesma área, utilizando régua e compasso. Os problemas iniciais eram para triângulos e quadriláteros, resolvidos sem dificuldade por parte dos alunos. No caso do disco, após alguma discussão, concluiu-se que para alguns valores de n a tarefa era possível, já para outros, não se tinha certeza da possiblidade de solução. O professor sugeriu dividir o disco em anéis concêntricos. Após discussões constatamos finalmente que de fato:   Existe um modo de se dividir o disco em n regiões de mesma área, somente com o uso de régua e compasso, para qualquer natural n.   Nessa divisão, as regiões são um disco e anéis concêntricos, mostradas na figura. Denotando por o disco de centro O e raio e por o anel delimitado pelas circunferências de raios e respectivamente, então e Portanto, o Problema 2 terá solução se, dado um segmento de comprimento R, soubermos        Essa construção pode ser feita com as seguintes instruções: 1. Dividir o segmento AB , de comprimento R , em n partes iguais: , 2. Determinar o ponto médio, M , de AB; 4. Traçar a perpendicular a AB pelo ponto, , e determinar o ponto de intersecção,, da perpendicular com a semi-circunferência S; Para justificar tal construção basta notar que é semelhante ao   portanto Para finalizar, exemplificamos a divisão do disco em sete regiões de mesma área. Notamos que essa construção abre um leque de possibilidades diferentes para a resolução do Problema 2. Para , temos, por exemplo, as possibilidades abaixo: