Sérgio Alves
IME - USP

Por ocasião da BIENAL da SBM, em outubro p. p., um leitor do interior de Minas Gerais nos relatou o seguinte episódio. Trabalhando com mosaicos do plano (veja RPM 40, p. 3) numa turma de 7^a série, sua aluna pavimentou o plano, na verdade, parte dele, usando cópias congruentes de um mesmo quadrilátero como o da figura abaixo.

Munida de diversas cópias do quadrilátero, ela juntou as peças como um quebra-cabeça, de modo que não houvesse nem lacunas nem superposições e os lados dos quadriláteros ficassem justapostos.

Devido à forma do quadrilátero, o fato impressionou muito o professor que agora nos pergunta:

Qualquer quadrilátero, convexo ou não, gera uma pavimentação do plano?

Pavimentações geradas por retângulos ou paralelogramos são bem conhecidas.

Esta última, por sinal, mostra como pavimentar um plano usando-se um triângulo arbitrário.

A resposta à pergunta formulada (que é surpreendentemente afirmativa!) pode ser justificada de várias maneiras. Apresentaremos uma que, além de simples, nos mostra como construir na prática uma pavimentação a partir de um dado quadrilátero. Esta solução foi apresentada na oficina O leitor pergunta, realizada durante o I Encontro da RPM.

A idéia básica é colocar em volta de um fixado vértice os quatro ângulos do quadrilátero. Lembramos que a soma das medidas desses ângulos é igual a 360^o.

Sendo o ponto médio do lado , refletimos em torno de o quadrilátero dado ABCD, obtendo uma cópia congruente com

Essa construção faz com que tenhamos em volta do vértice A os ângulos do quadrilátero indicados por 1 e 2.
Repetimos a operação determinando o simétrico de em relação a , onde é o ponto médio do lado O resultado obtido é outra cópia congruente , com

 

Temos agora em torno de A os ângulos indicados por 1, 2 e 3. Finalmente, sendo o ponto médio de , refletimos em torno de , obtendo uma cópia congruente , com

Como a soma das medidas dos ângulos do quadrilátero é 360^o, temos que a medida de é igual à do ângulo indicado por 4. Além disso, temos e então segue que .

 

Conseguimos dessa maneira colocar em torno de A os quatro ângulos do quadrilátero e, repetindo-se o argumento para outros vértices, obtemos uma pavimentação como a da figura ao lado.

Observamos ainda que o argumento acima vale também para um quadrilátero não convexo. A figura a seguir ilustra uma pavimentação com esse tipo de quadrilátero.