214. Considere que no retângulo ABCD, com e , existem duas circunferências e que satisfazem as condições:

tangente a AB e BC, tangente a AD e DC e e tangentes entre si externamente. Se os quadrados Q₁ e Q₂, com lados paralelos aos lados do retângulo ABCD, são circunscritos a e , respectivamente, prove que a área de Q₁ Q₂ pode ser dada apenas em função de a e b.

(Enviado por Eduardo Beltrão, PE.)

215. Luís gastou todo o dinheiro que tinha em n lojas. Em cada loja ele gastou R$1,00 a mais da metade do que tinha ao entrar na loja. Determine, em função de n, quantos reais ele tinha ao entrar na primeira loja. (Generalização de um problema proposto no livro É divertido resolver problemas, de Josimar Silva e Luís Lopes.)

216. Para n > 1, seja

(a) Determine os valores de n para os quais é possível expressar como a reunião de dois conjuntos disjuntos tais que as somas dos elementos contidos em cada um deles sejam iguais.

(b) Para os valores de n, para os quais a representação é possível, mostre uma maneira que permita a determinação dos conjuntos.

217. Seja ABC um triângulo equilátero de lado 1, D (D A) um ponto na semi-reta com BD = 1. Considere os pontos E e F satisfazendo: A, E e F alinhados, E entre A e F e sobre a semi-reta  , F na semi-reta  com  EF = 1.

Calcule a medida do segmento AE.

1. Num círculo formado por 10 pessoas cada pessoa escolhe um número e revela esse número aos seus vizinhos no círculo. Cada pessoa diz em voz alta a soma dos números dos seus 2 vizinhos. A figura mostra os números ditos em voz alta. Qual foi o número escolhido pela pessoa que disse o número 7?

(Do Jornal de Matemática Elementar, n^o 208. Lisboa, 2002.)

2. Num hotel para cães e gatos 10% dos cães julgam que são gatos e 10% dos gatos julgam que são cães. Após cuidadosas observações conclui-se que 20% de todos os hóspedes pensam que são gatos e que os restantes pensam que são cães. Se no hotel estão hospedados 10 gatos, quantos são os cães hospedados?

(Do Jornal de Matemática Elementar, n^o 205. Lisboa, 2002.)

3. No ano que vem fevereiro terá cinco domingos. Qual foi o ano em que isso aconteceu pela última vez?

(Ver respostas no final desta seção)

206. Suponha que cada ponto de um plano seja pintado de uma cor escolhida entre três cores dadas. Prove que existem dois pontos de mesma cor cuja distância é k, sendo k > 0 um número real dado.

Solução

Suponha que a afirmação seja falsa, isto é, os pontos do plano foram pintados usando-se três cores A, B e C e todos os segmentos de comprimento k possuem extremidades de cores diferentes.

Seja O um ponto do plano e, sem perda de generalidade, suponhamos que     ele seja da cor A.

Sejam e as circunferências de centro O e raios respectivamente k e

Todos os pontos de terão sido pintados de cor B ou C, pois, caso      contrário, haveria um raio (segmento) de cujas extremidades seriam ambas     da cor A.

Tome um ponto X em e pontos M e N em satisfazendo:

O valor do raio de , , garante a existência do losango OMXN .

Assim, M e N possuem cores diferentes (B e C) e X deve ter a cor A.

Como todos os pontos de podem ser obtidos dessa forma, provamos que todos eles estão pintados com a cor A, o que é uma contradição, pois sobre existem cordas de comprimento k.

207. Um rapaz esqueceu o último algarismo do telefone da namorada e resolveu tentar falar com ela escolhendo ao acaso o último dígito. Se ele está num telefone público e só tem duas fichas, qual é a probabilidade de que ele consiga conversar com a namorada?

Solução

a)    A probabilidade de que o rapaz acerte na primeira tentativa é igual a , uma vez que ele escolhe ao acaso um dos dez dígitos possíveis.

b)    Para que ocorra a segunda tentativa é necessário que ele tenha errado na primeira, e a probabilidade de isso acontecer é igual a 9/10. Dado que errou na primeira tentativa, a probabilidade (condicional) de que ele acerte na segunda é igual a 1/9, uma vez que, agora, o número de dígitos possíveis é igual a 9. Logo, a probabilidade de que ele acerte na segunda tentativa é (9/10)(1/9) = 1/10.

Segue que a probabilidade de que ele consiga conversar com a namorada é igual a (1/10) + (1/10) = 1/5.
 

208. Na figura temos um cubo de aresta medindo a, e com Desenhar a região do plano ABC delimitada pelo cubo e calcular sua área.

Solução
 

Ligando esses pontos, obtemos o traço BE do plano ABC com essa face. D e E pertencem à face superior do cubo. Ligando-os, concluímos que o quadrilátero BCDE é a secção do plano ABC no cubo (fig. 1).

Trata-se de um trapézio, pois os lados BE e CD são paralelos (intersecções do plano ABC com duas faces paralelas do cubo).

Como BC e CD são hipotenusas de triângulos retângulos contidos nas faces do cubo, temo

e

Na figura 5 temos

Observação: Alguns leitores calcularam a área mais rapidamente colocando um sistema de coordenadas num vértice do cubo e usando vetores.

Solução

Vamos observar inicialmente que



Por outro lado:

.

(Solução enviada por vários leitores.)

  .

1. O problema 211 da RPM 50 foi sugerido por Alexandre Rodrigues Barbosa, SP. A ele nossas desculpas pela não-citação de seu nome.

2. No final da p. 52 da RPM 50, o conjunto 1, 3, 4, 7, 9 deve ser substituído pelo conjunto 1, 3, 5, 7, 9. Agradecemos ao professor Robério Landim de Carvalho a observação e pedimos desculpas pelo erro cometido na especificação de seu Estado na relação de acertadores da RPM 50. Publicamos SP, quando na realidade deveria ser CE.

3. Na relação dos acertadores dos problemas da RPM 48 deixamos de mencionar que Carlos A. S. Victor, do Rio de Janeiro, acertou o problema 204.