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Augusto
J. M. Wanderley
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Introdução |
Thiago
e Isadora estão procurando moradia numa grande cidade.
Thiago trabalha no ponto A
da cidade, e Isadora trabalha em
B. Onde deve o
casal escolher sua residência P de modo
que a soma das distâncias aos dois locais de trabalho seja mínima?
Fácil,
não? Sabemos, da célebre desigualdade triangular da geometria
plana, que
onde
representa a distância
euclidiana usual entre os pontos A
e P,
e que esse valor mínimo é atingido em qualquer ponto
do segmento
AB, onde
. Portanto, o casal pode
escolher para
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morar
qualquer ponto do segmento de reta que une
A a
B. Há, porém, um problema: quem disse que no
segmento de reta AB
há residência? Só se o desenho das ruas da cidade o
permitir. Por exemplo, imaginemos que a cidade (ou pelo menos o trecho
em questão)
seja |
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perpendiculares ou paralelas entre si. Nesse caso, pode não
haver endereço no segmento AB
(ver figura 2). Aliás, nesse exemplo, o menor percurso entre A
e B não é o segmento usual AB, e sim o caminho
ou outros caminhos
equivalentes, como
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Para
lidar com geografia urbana, um modelo conveniente é a chamada |
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sistema de
coordenadas ortogonais; a partir daí, a “táxi-distância”
do ponto
ao ponto
é definida por:
(ver figura 3). Por exemplo,
do ponto de vista da táxi-distância, a igreja situada em
(ver figura 4) está mais
perto da lanchonete localizada em
do que da farmácia situada
em
pois
, enquanto na Geometria
Euclidiana a igreja estaria mais próxima da lanchonete do que da farmácia,
pois
A táxi-distância
reflete melhor a realidade urbana, pois seus trajetos contornam quarteirões,
em vez de atravessar prédios.
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figura 3 |
figura
4 |
A
geometria do táxi, ou táxi-geometria, ou táxi-métrica, apresenta
muitas propriedades semelhantes às da geometria euclidiana. Por exemplo,
não é difícil verificar que a táxi-distância é sempre não negativa,
só vale zero se os pontos coincidirem, é simétrica (distância de
A até
B é a mesma
que a de B até
A) e – importante – satisfaz a desigualdade triangular.
Além disso, se A
e B
estiverem na mesma horizontal ou na mesma vertical, então a táxi-distância
entre A
e B
é a mesma que a distância euclidiana entre
A e
B.
No
entanto, sob vários outros aspectos, a táxi-distância é muito
diferente da euclidiana e às vezes apresenta um comportamento
surpreendente. Por exemplo, na geometria euclidiana, se aplicarmos uma
translação ou uma rotação a um segmento, seu comprimento permanece
inalterado. Na táxi-geometria, uma translação de fato não altera a
distância entre dois pontos, como se pode verificar facilmente. Mas uma
rotação pode alterar. Por exemplo, se
e
, a
Se girarmos o segmento
AB em torno da
origem de 45o no sentido positivo, A permanecerá o
mesmo, enquanto B se transformará em
(confira!), e então
Isso pode parecer
chocante à primeira vista, mas reflete apenas a influência do desenho
das ruas na táxi-distância.
Uma
circunferência de centro C
e raio r é
o lugar geométrico dos pontos do plano que distam
r de
C. Sendo a táxi-distância
tão peculiar, cabe logo perguntar que aspecto tem essa figura no caso da
táxi-geometria, isto é, como são as táxi-circunferências. A resposta
também é intrigante. Uma táxi-circunferência é a fronteira de um
quadrado com diagonais paralelas aos eixos coordenados. De fato, sendo
a equação da táxi-circunferência
de centro C e raio r é:
Em
face da
invariância da
táxi-distância por
|
translação,
basta considerar uma táxi- circunferência de centro na origem.
A figura sugere que, para qualquer ponto como P, na
fronteira do quadrado indicado, sua táxi-distância à origem é de
fato r. Tudo isso pode ser verificado algebricamente, já
que a equação
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Primeiro
ato: minimizando a soma das táxi-distâncias |
Voltemos
ao problema inicial do nosso casal, à luz da táxi-geometria, que é
aquela que se adapta melhor à situação real.
Dados
e
queremos determinar
tal que
seja a menor possível.
Pela desigualdade triangular, que já sabemos que vale na táxi-geometria:
Se houver, então, algum
ponto P
tal que
neste ponto se dará o
valor mínimo. Temos, pois, que encontrar (todos os) x e
y tais que
.
Para
visualizar a solução desse problema, considere a figura 6 (com
e
), onde aparece o que chamaremos de retângulo básico
|
ACBD, de lados paralelos aos eixos e tendo AB como
uma diagonal. Os pontos P
e S
da figura ilustram o fato de
que, qualquer
que |
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Aqui
está um fato surpreendente: na táxi-geometria, o que poderia parecer um
análogo do segmento é uma região “gorda” do plano. O leitor pode
fazer algumas experiências para comprovar por si mesmo que, por exemplo,
se
,
e
então todo ponto P
do retângulo ACBD satisfaz a
Se
os pontos A e B estiverem numa mesma vertical (isto é,
), ou, analogamente, numa mesma horizontal (isto é,
), o retângulo básico vai degenerar no segmento
AB. Portanto,
nesse caso, o conjunto dos pontos P tais
que é mínima a soma das táxi-distâncias de
P até
A e
B coincide com
o segmento AB, tal
como na Geometria Euclidiana.
Naturalmente,
a resolução algébrica do problema requer a costumeira manipulação da
definição de módulo, que o professor pode considerar um útil exercício
para seus alunos. Por exemplo, vamos justificar algebricamente que, se os
pontos A
e B
estiverem numa mesma vertical, então a solução do problema é o
segmento AB.
De fato, com
e (sem perda de
generalidade)
a equação fica:
Todos os pontos do segmento
AB satisfazem a
igualdade, pois para eles:
a equação ficando:
Por
outro lado, não há soluções fora desse segmento, pois se
então:
o que é impossível, pois
e
Análogo para
A
resolução algébrica do caso em que
(sem perda de
generalidade) e
(ou, analogamente,
engloba nove sub-casos,
que correspondem a nove regiões do plano, cujas fronteiras são partes
das retas paralelas aos eixos passando por A ou
B (ver figura
7), as quais delimitam o
retângulo básico.
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Os
cálculos ainda podem ser simplificados, observando que, por
simetria em relação ao ponto
M, médio
de AB, ou seja, o centro do retângulo básico, basta
analisar o
que ocorre nas
regiões 1, 2,
3, 4 e 5,
já que são simétricas em relação a esse ponto,
respectivamente, às regiões: 2 e 6, 3 e 7, 4 e 8, 5 e 9. |
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Por
exemplo, na região 1, onde
e
a equação:
se
reduz a
que é satisfeita por
todos os pontos da região.
Já
na região 2, caracterizada por
e
a equação fica:
que não é satisfeita por
nenhum ponto, pois
enquanto
E assim por diante.
A
partir daqui, vamos nos concentrar na abordagem das “demonstrações
visuais”, deixando para o leitor a instrutiva e não menos importante
verificação algébrica.
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Segundo
ato: a táxi-mediatriz |
Mesmo
convencidos de que qualquer ponto do retângulo básico respeitaria a
condição de que a soma das distâncias de sua residência aos dois
locais de trabalho seria mínima, Thiago e Isadora não fecharam negócio
nessa região, pois a acharam muito pouco residencial, o que era de
esperar, sendo muito próxima do trabalho. Resolvem então procurar
moradia em outro lugar da cidade, mas com uma exigência. Para não haver
brigas, Thiago e Isadora querem agora morar num ponto eqüidistante do
trabalho de cada um.
Novamente,
se o casal usasse a Geometria Euclidiana, estaríamos diante de um
problema muito conhecido. A solução seria a mediatriz de
AB, ou seja, a
reta perpendicular a AB,
passando pelo seu ponto médio. Mas Thiago e Isadora já sabem que
têm de usar a táxi-geometria. Nesta geometria, qual será o lugar geométrico dos pontos eqüidistantes de dois
pontos dados A
e B?
Seja qual for, vamos chamá-lo de “táxi-mediatriz”, e será a
solução da equação
Se
os pontos A e B estiverem numa mesma vertical (isto é,
), ou numa mesma horizontal
(isto é,
), a solução será a mediatriz usual da Geometria Euclidiana. Nos outros
casos, curiosamente, será crucial considerar a inclinação do
segmento AB, ou seja:
Se
m não for
0, nem 1, nem
, a táxi-mediatriz será uma
“linha quebrada”, formada por um segmento de inclinação
1 ou
(conforme
m seja negativo
ou positivo, respectivamente), passando pelo centro do retângulo básico
e situado dentro dele, continuado por semi-retas paralelas a um dos eixos.
As figuras 8 e 9 ilustram as situações.
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figura
8 |
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figura
9
Para
mostrar isso por argumentos visuais, tomemos o caso ilustrado na próxima
figura, onde
e
com
As táxi-distâncias de
P até A
e B
são, respectivamente, os comprimentos da poligonal
ACP e do
segmento PB. Porém, a igual inclinação de PR em
relação aos eixos mostra que
e,
portanto:
Logo,
P está na táxi-mediatriz de
AB. Para um ponto como
|
retângulo, e sobre o
segmento de inclinação
|
figura
10 |
Se
ou
, temos mais uma situação surpreendente: a táxi-mediatriz consiste na
diagonal do retângulo básico distinta de AB e mais um par de
quadrantes (ver figura 11). Por exemplo, se
e
os pontos eqüidistantes de A
e B são os do segmento de extremos
e
mais todos os pontos do
quadrante
e
e os do quadrante
e
. É instrutivo verificar como, por exemplo, todo ponto
com
e
, dista
de B e
de A. Lembramos que
isso pode e deve ser verificado algebricamente, sendo uma manipulação da
definição de módulo.
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figura
11
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Comentário
final |
No
plano euclidiano usual, é sabido que a linha perpendicular ao segmento
AB passando
pelo ponto médio de AB
coincide com o conjunto
Os exemplos da seção
anterior nos mostram que tal proposição, válida para a Geometria
Euclidiana, é falsa para o “plano do táxi”. De fato, as mediatrizes
ali obtidas nem mesmo são sempre retas. As coisas estranhas que se passam
na geometria do táxi devem-se ao fato de ela ser uma geometria não-euclidiana,
isto é, não satisfaz os axiomas da geometria euclidiana. Mas a táxi-geometria
nem mesmo é uma geometria neutra (ou “geometria absoluta”, ver [2]),
como são as geometrias não-euclidianas mais tradicionais, como a
geometria hiperbólica, por exemplo. O ponto-chave é que na táxi-geometria
não valem os “casos de congruência de triângulos”, que conhecemos tão
bem e que constituem alguns dos pilares de toda a geometria euclidiana.
Referências
bibliográficas
[1]
Krause, E. F., Taxicab Geometry: An Adventure in Non-Euclidean
Geometry, Dover, NY, 1986.
[2]
Matin, G., The Foundations of Geometry and the Non-Euclidian Plane,
Intext, Educational Publishers, NY, 1972.
figura
6
