Jesús Alfonso Pérez Sánchez
jesusp@ciens.ula.ve 

Naquele verão, decidi visitar o João, meu sobrinho, menino muito especial. Motivos? Entre outros: o talento matemático do garoto, a beleza daquela região (alguns moradores juravam que foi desenhada pelo próprio Walt Disney).

Após o alegre encontro, descansei e no dia seguinte o João pegou o seu boné e uma fita métrica de bolso e começamos nossa jornada.

Depois de uns cem metros de percurso, vimos alguns animais em um espaço cercado: cavalos, galinhas, vacas. Aí, comentei com o João:

 Neste instante, vem à minha memória o seguinte probleminha: num cercado, há cavalos e galinhas; contam-se 35 cabeças e 110 patas. Quantos animais de cada espécie tem o cercado citado?

 Ora, tio, para resolver essa questão, eu tenho o meu estilo, Imagino que os animais no cercado apóiam-se todos em duas patas só. Então... deveriam ter contado 70 patas. Tem-se, assim, uma diferença de 40 patas. Isso quer dizer que há... 20 cavalos... e, portanto, ... 15 galinhas.

 Eu, discretamente, olhei meu caderno onde havia anotado (enquanto o João falava com alguns amigos):

Continuando nosso passeio, um pouco adiante encontramos uma turma de garotinhos, muito contentes, brincando de bolinhas de gude, numerosas e coloridas.

Sabendo que a Combinatória era uma das paixões do meu sobrinho, fiz-lhe a seguinte interrogação: suponha que você tem 85 bolinhas de gude, numa caixa, e há: 20 vermelhas, 30 azuis, 20 verdes, e, das 15 restantes, algumas são amarelas e outras são brancas. Qual é o número mínimo de bolinhas de gude que devem ser retiradas da caixa, sem lhes ver a cor, para termos a certeza de que entre elas existem pelo menos 15 bolinhas da mesma cor?

 Que legal, tio! Gosto demais do tema. Para encontrar a resposta, uso um método baseado no princípio da casa dos pombos: penso em quatro ninhos e considero “o pior dos casos”: suponho que foram retiradas as 15 bolinhas que são amarelas ou brancas – elas são colocadas num mesmo ninho; assumo também que saíram 14 bolinhas de cada uma das outras 3 cores – postas no seu correspondente ninho (um ninho para cada cor). Então, claro que, retirando-se (sem ver a cor!)    (58 no total) bolinhas de gude, estará garantido que pelo menos 15 serão da mesma cor.

Aprovada a solução apresentada, prosseguimos o passeio, até chegar à beira de um formoso rio, e decidimos parar e curtir a bela paisagem. Tudo era harmonia: a corrente do rio, a agradável brisa, a paz... então, a voz do menino retumbou no ambiente: “Tio, eu posso encontrar, aproximadamente, a largura do rio, nesta parte na nossa frente, onde as duas beiras são paralelas.
 

A seguir, sem mexer no meu boné, dobro segundo um ângulo de 90^o e localizo o ponto  C,  nesta beira do rio, alinhado com  P’  e  O.  Agora é só usar a fita métrica para saber o comprimento de    isto é, a largura

procurada. A justificativa é a congruência dos triângulos  OAB  e  OAC.”

Caminhamos mais um pouco, calados. Eu pensava no João. Sem dúvida, era um menino fora de série, um pequeno poeta-matemático. Com certeza, aqueles momentos eram muito agradáveis. Chegamos, então, perto de uma ponte de pedras, de singular beleza. Na sua parte superior estavam dois garotos empinando papagaio, enquanto na parte inferior destacavam-se os arcos da ponte: umas maravilhosas curvas (arcos de elipses).

Antes de o João falar, tive o pressentimento de que ele ia comentar sobre os fatos geométricos envolvidos na construção dos papagaios, mas, para minha surpresa, disse: “Tio, vamos brincar embaixo da ponte; trata-se de ficar em pé, em certas posições, embaixo dos arcos, falar em sussurros e verificar que a comunicação é perfeita. Meu professor de matemática prometeu que no ano que vem estudaremos a causa (geométrica e física) desse divertimento”.

Certamente, menino, pensei, a razão não é outra que a propriedade bissetora da elipse (ver RPM 36, p. 24). Mas ... essa é uma outra história.