Escreve-nos um "leitor desde o primeiro número":

Qual é a cara (ou coroa) de uma moeda: a face que contém uma efígie ou a face que contém o valor da moeda?

RPM: Responde o revisor de Português da RPM: coroa é a face que contém o valor da moeda.

E, já que falamos de moedas

Um leitor pediu a resolução do problema abaixo, que poderá ser útil numa aula sobre progressões aritméticas.

500 moedas são distribuídas entre três pessoas, A, B e C, em círculo. A pessoa A receberá 1 moeda, a B receberá 2 moedas e C receberá 3 moedas; A receberá 4 moedas, B receberá 5 moedas e C receberá 6 moedas, e assim por diante. Pergunta-se:

a) Quantas foram as moedas restantes e quem as recebeu?

b) Quantas moedas recebeu cada uma das três pessoas?

RPM: Foram distribuídas 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n moedas. Qual deve ser o valor de n para que essa soma fique o mais próxima possível de 500, porém menor do que 500?

o que implica .

"última" receberá as 4 restantes.

Quem são essas pessoas?

O número de moedas que A recebe, 1, 4, 7, ..., é um número da forma

; o número de moedas que B recebe, 2, 5, 8, ..., é um número da forma e o número de moedas que C recebe, 3, 6, 9, ..., é um número da forma 3k.

O número 31 é da forma ; logo, A receberá as 31 moedas e B receberá as 4 restantes.

Quantas moedas receberá cada uma?

A receberá moedas. É agora um problema de P.A. com . O número de termos é 11 e a soma dos termos é 176.

C receberá moedas. O número de termos dessa P.A. é 10 e a soma 165.

B receberá moedas. O número de termos dessa P.A. é 10 e a soma 155. Mas B receberá as 4 restantes. Portanto, B receberá, ao todo, 159 moedas.

Funções crescentes

De um leitor de Porto Alegre:

Quantas são as funções crescentes de A em B, se

a) e

b) e com

RPM: Nos nossos livros de Cálculo encontram-se duas definições distintas para "função crescente".

No livro de Cálculo de Hamilton Guidorizzi, f é crescente em I se, quaisquer que sejam x e y em I, .

No livro de Cálculo de James Stewart, f é crescente em I se, quaisquer que sejam x e y em I, .

A solução do problema depende da definição adotada.

a) Stewart: A = {1,2} e  B = {1,2,3,4}. Escolhemos dois elementos distintos de B,  a e b,  com a < b. Cada escolha define uma função crescente dada por f(1) = a e f(2) = b. Há  C_4,2 = 6 escolhas. Portanto, há 6 funções crescentes.

a)   Guidorizzi. O número de funções crescentes é C_4,2 + 4 = 6 + 4 = 10, pois devemos incluir as escolhas f(1) = f(2) = a,  1 a 4.

b)    Stewart. Existem funções crescentes.

b)  Guidorizzi. Existem  C_n,3 + n + 2C_n,2  funções crescentes, pois devemos incluir as n funções constantes,  f(1) = f(2) = f(3) = a,  1 a n   e, escolhidos dois elementos distintos de B, a e b com a < b, teremos duas funções crescentes distintas:

e .

Cuidado com a contextualização

Um leitor de Maceió pediu a solução do problema abaixo, apresentado numa palestra para professores:

Considere uma classe de 27 alunos e que a nota média de uma prova realizada por esses alunos tenha sido 1,875. Sabendo que as notas foram dadas de 0,25 em 0,25, qual é o número máximo de alunos que podem ter conseguido 3,75, uma vez que apenas dois alunos conseguiram a nota mais alta, que foi 4,25?

RPM: O problema, com esses dados, não tem solução. Vejamos por quê.

Vamos chamar as notas dos alunos de . Então,

Mas todas as notas são múltiplos inteiros de 0,25, isto é, a soma no primeiro membro é um múltiplo inteiro de 0,25, enquanto, no segundo membro, 42,125 não é um múltiplo inteiro de 0,25. Logo, a situação descrita é impossível.

RPM: Ao sair de A existem três opções possíveis: d (ir para a direita), f (ir para o fundo) ou c ir para cima, ao longo das arestas do primeiro cubinho. Ao chegar ao novo vértice, há novamente três opções possíveis: d, f ou c, e assim por diante.Para chegar em B, será necessário escolher 5 vezes a opção d, 4 vezes a opção f e 3 vezes a opção c.

O problema então consiste em saber quantas seqüências de 12 letras podem-se formar com 5 " d ", 4 " f " e 3 " c ", ou seja, é um problema de permutações com repetição. A resposta é .

Agora vamos distribuir medalhas

De um leitor do Pará:

A EN, a AMAN e a AFA disputaram 10 provas de atletismo. Em cada prova se outorga uma medalha de ouro (três pontos), uma de prata (dois pontos) e uma de bronze (um ponto). A AMAN ganhou mais medalhas de ouro do que cada uma de suas adversárias e ganhou também, no total, uma medalha a mais do que a AFA e duas medalhas a mais do que a EN. Apesar disso, a EN venceu a competição com um ponto de vantagem sobre a AFA e dois pontos de vantagem sobre a AMAN.

Quantas medalhas de prata a EN conquistou?

RPM: Se x é o número de medalhas que a EN ganhou, então a AFA ganhou x + 1 medalhas e a AMAN ganhou x + 2 medalhas. O número total de medalhas é 30 (10 provas com 3 medalhas cada uma). Temos e, portanto, x = 9 . Isto é, a EN ganhou 9 medalhas, a AFA ganhou 10 medalhas e a AMAN ganhou 11 medalhas.

Se p é o números de pontos feitos pela AMAN, então a AFA fez pontos e a EN fez pontos. O número total de pontos é 60 (). Temos e, portanto, .

A EN fez 21 pontos, a AFA fez 20 pontos e a AMAN fez 19 pontos.

Vamos agora usar a seguinte notação:

são, respectivamente, os números de medalhas de ouro, prata e bronze da EN; são, respectivamente, os números de medalhas de ouro, prata e bronze da AMAN; e são, respectivamente, os números de medalhas de ouro, prata e bronze da AFA.

ouro, de prata e de bronze.

a AFA ganhou a₂ medalhas de ouro, de prata e de bronze.

a AMAN a₃ ganhou medalhas de ouro, de prata e de bronze.

Sabemos que e que e . Por outro lado, como , devemos ter

Portanto, necessariamente, e .

As medalhas ficaram distribuídas como na tabela, isto é, a EM conquistou seis medalhas de prata.