Cláudio Possani Élvia Mureb Sallum Flávio Wagner Rodrigues IME–USP Soluções e Sugestões RPM – Problemas Caixa Postal 66281 05311-970 São Paulo, SP        Problemas 210.  Mostre que, se  a,  b,  c  são números inteiros ímpares, então a equação  não tem raízes racionais. (Proposto por Eduardo Wagner, durante a mesa-redonda realizada no I ENCONTRO DA RPM, para ilustrar o ponto de vista de que nem todo problema matemático precisa ter utilidade prática, não deixando, por isso, de ser bonito e interessante.)     211.   Numa classe com 12 alunos, o professor escreveu na lousa um número natural menor que  50 000  e pediu que os alunos falassem alguma coisa a respeito dele. O primeiro aluno disse que o número era múltiplo de 2, o segundo disse que o número era múltiplo de 3 e assim sucessivamente até o último, que disse que o número era múltiplo de 13. Em seguida o professor disse que, com exceção de dois alunos consecutivos que erraram, todos os demais acertaram. a)   Quais foram os alunos que erraram? b)   Qual foi o número que o professor escreveu? Justifique suas respostas.     212.   Seja    uma parábola com foco  F  e seja  PQ  um segmento que contém  F,  com  P  e  Q  pertencentes a  .  Sejam  r  e  s  as retas tangentes a  ,  respectivamente em  P  e  Q,  e seja  C  o ponto de encontro de  r  e  s.  Obtenha a medida do ângulo  e determine o lugar geométrico de todos os pontos  C  obtidos. (Enviado por Mauri Cunha do Nascimento, SP.)   213.   Em um triângulo acutângulo    sejam  P  e  Q    os pés das alturas relativas aos lados  AB  e  AC  respectivamente,  M  o ponto médio de  BC  e  D  a intersecção de  CP  e  BQ.  Prove que: a)  a circunferência    determinada por  APQ  passa por  D. b)  as retas    e    são tangentes à  . c) as circunferências determinadas por  CQM,  BPM  e    possuem um ponto comum. (Usado no treinamento da equipe francesa para a Olimpíada de Matemática.)       ... e probleminhas 1.    Num cercado pintinhos estão perseguindo besouros de 6 patas. Se o total de patas no cercado é 140, as quantidades dos besouros e dos pintinhos são dadas por números primos e há pelo menos um besouro para cada pintinho, quantos são os besouros?   2.  Em um torneio de tênis participam n jogadores. Todos os jogos são entre dois jogadores e todos são eliminatórios. Quantas partidas serão jogadas até ser definido o campeão?    3.   Num reino distante quaisquer dois cavaleiros ou são amigos ou inimigos e cada cavaleiro tem exatamente três inimigos. Nesse reino vigora a seguinte lei entre os cavaleiros: Um inimigo do meu amigo é meu inimigo. Quantas possibilidades há para o número de cavaleiros desse reino?       [Tirado do Jornal de Matemática Elementar, no 205,       Lisboa – Olimpíadas Portuguesas de Matemática (8o e 9o anos).]                        (Ver respostas na seção "O leitor pergunta")                                Soluções dos problemas propostos na RPM 48 202.   Responder às questões sem calcular todas as raízes quadradas: (a) Dentre os 96 números de cinco algarismos formados pelas permutações dos elementos do conjunto , quantos são quadrados perfeitos? (b) Mesma questão de (a) para os 120 números formados pelas  permutações dos elementos do conjunto . Solução a)  Qualquer um dos 96 números formados tem a soma de seus algarismos igual a 20, conseqüentemente o resto da divisão de qualquer um deles por 3 é igual a 2. Por outro lado, um número natural qualquer é da forma    ou    ou  para  n  natural. Logo, o quadrado de um número natural é igual a  ou   ou    cujos restos, na divisão por 3, são   0  ou  1.  Como o resto da divisão de qualquer um dos  96  números dados, por  3,  é igual a  2,  nenhum deles pode ser um quadrado perfeito. b)  Vamos mostrar, inicialmente, que o algarismo das dezenas do quadrado de um número ímpar é sempre par. Consideremos um número ímpar  n  e denotemos seus algarismos das dezenas e unidades por a  e  b  respectivamente. ,   b = 1, 3, 5, 7  ou  9. O algarismo das dezenas de    é igual ao algarismo das dezenas do número    e, portanto, é par.  Este último resultado segue do fato de que o algarismo das dezenas de    quando existe, é  2,  4 ou  8  e de que o algarismo das dezenas de  20ab  também é par. Como nenhum dos elementos de    é par, nenhum dos 120 números formados pelas permutações desses elementos pode ser um quadrado perfeito. (Adaptação da solução publicada no livro Mathematical Quickies de Charles W. Trigg.)       203.   Se  ABC  é um triângulo qualquer e  I  seu incentro, prove que a circunferência que passa por  B,  C  e  I  passa também pelo excentro relativo ao lado BC (o ex-centro  IA   relativo ao lado BC é o centro da circunferência que tangencia o lado BC e os prolongamentos dos lados AB e AC, conhecida como circunferência excrita ou ex-inscrita). Solução  Basta provar que o quadrilátero  BCIIA  é inscritível, o que segue do fato de os ângulos internos opostos somarem 180o. Para demonstrar esse fato procedemos como segue:  Como  I  é     Analogamente,    e segue o resultado.                                   (Solução enviada por diversos leitores.) 204.       Resolva a equação:   Solução Vamos utilizar, na solução, as igualdades seguintes bastante conhecidas:   e  .  Então:   .  Segue-se então que   se e somente se   ou    ou  ,  logo, o conjunto (Adaptado de soluções enviadas por vários leitores.)     205.   Três aranhas caminham pelos lados de um triângulo ABC e movimentam-se de modo que, em qualquer instante, formam um triângulo e o baricentro de todos os triângulos formados é sempre o mesmo ponto (fixo)  P.  Sabendo-se que uma das aranhas percorre todo o triângulo  ABC,  mostrar que  P  é também o baricentro do triângulo  ABC.   Solução Suponhamos que seja a aranha  que percorre todo o  e consideremos o instante em que ela está em  A. Seja  M  o ponto médio do lado  do  formado pelas três aranhas nesse instante.   Traçamos  r  e  s  retas paralelas a    e que dividem  a altura  AH  em três partes iguais. Prolongamos AM até encontrar BC em . Como r e s dividem  em três partes iguais (Tales), então o baricentro do  que é o ponto que dista  de M, está na região hachurada. Repetindo o argumento quando a aranha    está em  B  e quando está em  C,  concluímos que o baricentro  P  comum dos triângulos formados pelas três aranhas está em três regiões que se cortam exatamente no baricentro do  , o que demonstra o resultado pedido. Para justificar esta última afirmação, observamos que a reta r e as outras duas construídas analogamente, quando a aranha está em B ou C, encontram-se no baricentro do . (Solução de Antonio Luis Pereira, SP, e Ezequiel Meirelles Lourenço, PE.)