João Lício  de Alencar Neto
Aluno da Universidade Estadual do Ceará
Fortaleza – CE.

Se x é um número  inteiro positivo, qual a  quantidade de algarismos necessários para se escrever todos os números inteiros de 0 a x?

A resposta a esta pergunta é dada pelo seguinte teorema.

Teorema: Seja x um número inteiro positivo de n algarismos. Seja Q (x) a quantidade de algarismos necessários para escrever todos os números inteiros de 0 a x, inclusive. Vale, então a seguinte fórmula para Q(x):

                                (1)

Demonstração: No caso n = 1 a fórmula (1) dá o valor Q (x) = x + 1, o qual é obviamente verdadeiro.

Prosseguindo por indução em n, passamos a supor que a fórmula (1) seja verdadeira para todo número com k algarismos. Provaremos que em conseqüência ela vale também quando x tem k+1 algarismos.

O numero 10^k – 1 é o maior número com k algarismos. Todos os números após  10^k – 1, até x, têm k+1 algarismos, portanto:

Q(x) – Q(10^k -1) = (k+1)[x -10k -1]                 (2)

Como 10^k –1 tem k algarismos, vale a fórmula que nos dá

                             (3)

Somando (3) e (2) obtemos

                         (4)

que é a formula (1) quando n = k + 1.

E isto mostra que a fórmula

,

é verdadeira para todo o inteiro n, n  1.