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Ao
escrever este artigo tenho em mãos o catálogo de uma indústria que
produz chapas metálicas perfuradas de vários tipos. Veja os desenhos de
alguns pedaços destas chapas:
Estas
chapas têm usos variados em diversos tipos de indústrias. Por exemplo, são
empregadas na fabricação de filtros. Você já deve ter visto um filtro
de ar do motor de um automóvel ou caminhão. Alguns deles são deste
tipo:
Eles
têm formato cilíndrico e sua superfície lateral é feita com uma chapa
metálica cheia de furinhos, por onde passa o ar a ser filtrado. Estas
chapas também são usadas como peneiras nas indústrias que produzem minérios,
carvão, papel, cimento, etc. Dependendo
do material a ser peneirado, os técnicos que trabalham com isto optam por
um ou outro tipo de furo. Decidem ainda qual o tamanho do furo e o espaçamento
entre eles. Observando os desenhos das chapas, você percebe que, em
alguns casos, a parte furada da chapa é maior que em outros. A relação
entre a área da superfície furada e a área da superfície total da
chapa, expressa em porcentagem, é chamada, por aqueles técnicos, de porcentagem
de área perfurada. Vejamos um exemplo. Na chapa seguinte os furos
quadrados têm lado 4mm e o espaçamento entre um quadrado e outro é de
2mm.
Para
calcular a porcentagem de área perfurada desta chapa, vamos concentrar a
nossa atenção num pedaço dela, como por exemplo, o quadrado ABCD, cujo
lado mede 18 mm (confira). Sua área é 324 mm2. No
interior do quadrado ABCD temos 9 furos quadrados, logo a área da superfície
furada é: Portanto
a porcentagem de área perfurada desta chapa é:
Este
resultado significa que, de cada 100 cm2 de chapa, temos 44 cm2
de furos. Esta porcentagem p de área perfurada é um indicador de quão
furada a chapa é.
Para
calcular p elegemos um pedaço da chapa: o quadrado ABCD. Perceba que não
era necessário usar daquele quadrado. Podemos raciocinar sobre qualquer
pedaço que seja representativo da chapa como um todo, como por exemplo:
Exercícios 1. Calcule p escolhendo como pedaço representativo da chapa um daqueles
apresentados no texto.
2. Tente conceituar melhor o que é um pedaço representativo da chapa.
Pense em transformações (simetrias, translações).
Observe as duas chapas seguintes. Em ambas, os furos quadrados têm lado 10 mm. Na primeira o espaçamento entre os quadrados é de 3 mm e na segunda é de 2 mm. Uma forma cômoda e caracterizar este maior ou menor afastamento entre os furos é através da distância entre seus centros.
No
primeiro caso esta distância é de 13 mm e no segundo é de 12mm. Esta
é a linguagem usada pelos técnicos que trabalham nesta área: a chapa
fica definida por sua espessura, pelo tipo de furo (quadrado, circular,
retangular, etc), pela disposição dos furos, pelo tamanho dos furos,
pela distância entre seus centros e pelo material de que é feita a chapa
(ferro, cobre, alumínio, etc).
Às
pessoas que trabalham neste ramo interessa a existência de resultados
gerais que permitam o cálculo da porcentagem p com rapidez. Por esta razão,
o catálogo a que me referi está repleto de fórmulas e tabelas. Cada uma
destas fórmulas se refere a um tipo de furo: quadrado, retangular,
circular, etc. Vejamos algumas delas e a sua justificativa. É evidente
que no catálogo não consta esta justificativa. Seus objetivos são
outros. A
chapa de furos quadrados Vamos
indicar com
Portanto
a porcentagem p de área perfurada é:
Exercício 3.
Calcule p para a chapa seguinte na qual
c = 4 mm. A
chapa de furos retangulares Na
chapa de furos retangulares vamos indicar por
O
restante deixo de presente p’rá você: prove que a porcentagem p de área
perfurada é dada
Exercícios 4.
Calcule a porcentagem
de área perfurada da chapa seguinte, onde:
L = 3,6 mm, c = 2,4 mm e C = 5 mm. A
chapa de furos circulares em disposição reta Na
chapa da figura, seja d o diâmetro dos furos circulares e c a distância
entre seus centros.
Raciocinemos
no quadrado ABCD. Seu lado é c, logo sua área é c2. A parte
furada corresponde aos quatro quartos de círculo de diâmetro d, logo a
área da parte perfurada é
Exercício 6.
Calcule p para a chapa seguinte, onde d = 1 mm e c = 1,6 mm.
A
chapa de furos circulares em disposição hexagonal Nesta
disposição os centros dos seis furos que circundam um furo qualquer,
são vértices de um hexágono regular. Perceba que este hexágono
é um pedaço representativo da chapa toda.
O
lado do hexágono destacado na figura é c. Pensando o hexágono como
justaposição de seis
A
parte furada, interior a este hexágono, é constituída de um círculo no
centro e mais seis terços
Portanto:
Exercício 7.
Calcule p para a chapa seguinte, onde d = 4mm e c = 6 mm.
A
chapa de furos oblongos A
forma oblonga dos furos, a que se refere o catálogo é a reunião de um
retângulo com dois semi-círculos. O significado de
Novos
problemas E agora você pode inventar problemas pensando em furos em forma de losango, hexágono regular, triângulos eqüiláteros, elipses, etc. Além de jogar com a forma dos furos você pode variar ainda a sua disposição, como fizemos com os furos circulares. Vamos lá, aceite o desafio!
Para encerrar, duas palavrinhas. Os conceitos envolvidos nestes problemas são acessíveis a alunos de 8a. série do primeiro grau: cálculo de áreas e porcentagens. Convido os colegas, que atuam neste nível de ensino, a leva-los para suas aulas de Geometria quando estiverem calculando áreas. Aposto que algum aluno aparecerá em sala com um pedaço destas chapas e que a aula de Matemática dará mais prazer a todos. Agora a segunda palavrinha. O catálogo industrial, no qual aprendi estas coisas que estão neste artigo, me foi presenteado por meu tio Eugênio que durante longos anos de sua vida trabalhou em indústrias metalúrgicas. Sempre fazendo de tudo nelas, mas sempre usando Matemática na sua profissão. Ao se aposentar entregou-me seus livros, revistas, catálogos e apontamentos, dos quais se pode retirar muito material para artigos deste tipo, mostrando como a Matemática é importante na vida das pessoas. Ao tio Eugênio meu muito obrigado.
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, que juntos formam um quadrado de lado
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